2425 - DIFVER-T1: Uitwerkingen

2425 - DIFVER-T1: Uitwerkingen#

Opgave 1 (2 punten)#

Antwoord

Uitwerking
\[\begin{align*} - 5t^2\dfrac{d^5x}{dt^5} + \dfrac{d^3x}{dt^3} + \cos(2t)\dfrac{d^2x}{dt^2} - 3\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{x}{t^2} = e^{3t} \end{align*}\]

De orde van de DV is de grootste afgeleide van \(x\) naar \(t\). \(\quad {\color{blue} \text{(1p)}}\) Dat is \(\dfrac{d^5x}{dt^5}\), dus de DV is van de 5e orde. \( \quad {\color{blue} \text{(1p)}}\)

Opgave 2 (3 punten)#

Antwoord

Uitwerking

Omschrijven naar de standaard vorm levert:

\[\begin{align*} - 5x^2\dfrac{d^5y}{dx^5} +e^{5x}\dfrac{d^3y}{dx^3} + \dfrac{d^2y}{dx^2} - cos(4x)\dfrac{dy}{dx} + \dfrac{y}{x^2}= 3x \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align*}\]

Deze vorm komt overeen met de standaardvorm voor een lineaire DV. \(\quad {\color{blue} \text{(1p)}}\) De lineaire DV is ongelijk aan 0 dus inhomogeen. \(\quad {\color{blue} \text{(1p)}}\)

Opgave 3 (8 punten)#

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= C\cdot (x-5)^2 + 3 &\qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]
Uitwerking
\[\begin{align*} (x-5)\dfrac{dy}{dx} = 2(y-3) \end{align*}\]

Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.

(1464)#\[\begin{align} \frac{1}{(y-3)} \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{2}{(x-5)} \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(1465)#\[\begin{align} \int \frac{1}{(y-3)} \dfrac{dy}{dx} dx &= \int \dfrac{2}{(x-5)}dx \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).

(1466)#\[\begin{align} \int \frac{1}{(y-3)} dy &= \int \dfrac{2}{(x-5)}dx \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De primitieven nemen van beide kanten.

(1467)#\[\begin{align} \ln|y-3| + C_1 &= 2\ln|x-5| + C_2 \quad {\color{blue} \text{(2p)}} \\ \ln|y-3| &= 2\ln|x-5| + C_3\\ e^{\ln|y-3|} &= e^{2\ln|x-5| + c_3}\\ |y-3| &= e^{2\ln|x-5| + c_3}\\ |y-3| &= e^{\ln(x-5)^2 + c_3}\\ |y-3| &= e^{\ln(x-5)^2} \cdot e^{c_3}\\ |y-3| &= (x-5)^2 \cdot e^{c3}\\ y-3 &= \pm (x-5)^2 \cdot e^{c3} \quad {\color{blue} \text{(2p)}} \end{align}\]

\(y-3 = 0\) voldoet aan de dv, dus

(1468)#\[\begin{align} y-3 &= C\cdot (x-5)^2 &\qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \\ y &= C\cdot (x-5)^2 + 3 &\qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Opgave 4 (6 punten)#

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= \sqrt[3]{\dfrac{3}{\ln(4)} 4^x + C} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]
Uitwerking
\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{4^x}{y^2} \end{align*}\]

Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.

(1469)#\[\begin{align} y^2 \dfrac{dy}{dx} &= 4^x \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(1470)#\[\begin{align} \int y^2 \dfrac{dy}{dx} dx &= \int 4^x dx \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).

(1471)#\[\begin{align} \int y^2 dy &= \int 4^x dx \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De primitieven nemen van beide kanten.

(1472)#\[\begin{align} \dfrac{1}{3} y^3 + C_1 &= \dfrac{1}{\ln(4)} 4^x + C_2 \quad {\color{blue} \text{(2p)}} \\ \dfrac{1}{3} y^3 &= \dfrac{1}{\ln(4)} 4^x + C_3\\ y^3 &= \dfrac{3}{\ln(4)} 4^x + C_3 \\ y &= \sqrt[3]{\dfrac{3}{\ln(4)} 4^x + C_3} \end{align}\]

dus,

(1473)#\[\begin{align} y &= \sqrt[3]{\dfrac{3}{\ln(4)} 4^x + C} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Opgave 5 (11 punten)#

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= Ce^{-\frac{6}{7}x} + \dfrac{56}{159}\sin(3x) + \dfrac{16}{159}\cos(3x)\qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]
Uitwerking
\[\begin{align*} 7\dfrac{dy}{dx} +6y &= 8\cos(3x) \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1474)#\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1475)#\[\begin{align} 7\dfrac{dy}{dx} + 6y = 0 \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(1476)#\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1477)#\[\begin{align} 7\lambda \cdot Ce^{\lambda x} - 6\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\ (7\lambda +6 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\). \ Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(1478)#\[\begin{align} 7\lambda +6 &= 0 \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \\ 7\lambda &= -6 \\ \lambda &= -\dfrac{6}{7} \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda =-\dfrac{6}{7}\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(1479)#\[\begin{align} y_h = Ce^{-\frac{6}{7}x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(1480)#\[\begin{align} y_p &= C_1\sin(3x) + C_2\cos(3x) \quad {\color{blue} \text{(1p)}}\\ y'_p &= 3 C_1\cos(3x) - 3C_2\sin(3x) \\ \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1481)#\[\begin{align} 7 \cdot (3C_1\cos(3x) - 3C_2\sin(3x)) + 6\cdot (C_1\sin(3x) + C_2\cos(3x)) &= 8\cos(3x) \\ 21C_1\cos(3x) - 21C_2\sin(3x) + 6C_1\sin(3x) +6C_2\cos(3x) &= 8\cos(3x) \\ (6C_1-21C_2)\sin(2x) + (21C_1+6C_2)\cos(2x) &= 8\cos(3x) \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(1482)#\[\begin{align} 6C_1-21C_2 &= 0 \\ 21C_1+6C_2 &= 8 \quad {\color{blue} \text{(1p) voor beide samen}} \\ \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1483)#\[\begin{align} 6C_1 &= 21C_2 \\ C_1 &= \dfrac{21}{6}C_2 \end{align}\]

\(C_1\) invullen geeft:

(1484)#\[\begin{align} 21 \cdot \dfrac{21}{6}C_2 +6C_2 &= 8\\ \dfrac{441}{6}C_2 +\dfrac{36}{6}C_2 &= 8\\ \dfrac{477}{6}C_2 &= 8\\ C_2 &= \dfrac{48}{477} = \dfrac{16}{159} \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

\(C_2 \) invullen geeft:

(1485)#\[\begin{align} C_1 &= \dfrac{21}{6}C_2 \\ C_1 &= \dfrac{21}{6} \cdot \dfrac{48}{477} \\ C_1 &= \dfrac{168}{477} = \dfrac{56}{159} \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waardes voor \(C_1\), \(C_2\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(1486)#\[\begin{align} y_p = \dfrac{56}{159}\sin(3x) + \dfrac{16}{159}\cos(3x) \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1487)#\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= Ce^{-\frac{6}{7}x} + \dfrac{56}{159}\sin(3x) + \dfrac{16}{159}\cos(3x)\qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \quad {\color{blue} \text{(1p) alleen als beide goed}} \end{align}\]

Opgave 6 (11 punten)#

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= C_1\cos(\sqrt{5}x) + C_2\sin ( \sqrt{5}x ) + \dfrac{1}{42}e^{4x} + \dfrac{1}{10} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align*}\]
Uitwerking
\[\begin{align*} 2\dfrac{d^2y}{dx^2} +10y = e^{4x}+1 \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1488)#\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1489)#\[\begin{align} 2\dfrac{d^2y}{dx^2} +10y = 0 \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(1490)#\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(1491)#\[\begin{align} \dfrac{dy_h}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y_h}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1492)#\[\begin{align} 2(\lambda^2 Ce^{\lambda x}) +10(Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (2\lambda^2 +10 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\). \ Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(1493)#\[\begin{align} 2\lambda^2 +10 &= 0 \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(1494)#\[\begin{align} D = (0)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 10 = - 80 = -80 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(1495)#\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{0 \pm i\sqrt{80}}{2 \cdot 2}\\ \lambda_{1,2} &= \dfrac{0 \pm 4\sqrt{5}i}{4}\\ \lambda_{1,2} &= 0 \pm \sqrt{5}\cdot i \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Hieruit volgt dat \(p=0\) en \(q=\sqrt{5}\)

De waarde voor \(p\) en \(q\) invullen in de algemene oplossing geeft;

(1496)#\[\begin{align} y_h &= e^{px}(C_1\cos(qx) + C_2\sin(qx)) \\ y_h &= e^{0x}(C_1\cos(\sqrt{5}x) + C_2\sin ( \sqrt{5}x ) ) \\ y_h &= C_1\cos(\sqrt{5}x) + C_2\sin ( \sqrt{5}x ) \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(1497)#\[\begin{align} y_p = Ae^{4x} + B \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Dus,

(1498)#\[\begin{align} \dfrac{dy_p}{dx} &= 4Ae^{4x} \\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= 16Ae^{4x} \\ \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1499)#\[\begin{align} 2 \cdot (16Ae^{4x}) + 10 \cdot (Ae^{4x} + B) &= e^{4x} + 1\\ 32Ae^{x} + 10Ae^{x} + 10B &= e^{4x} +1 \\ 42Ae^{x} +10B &= e^{4x} +1 \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(1500)#\[\begin{align} 52A &= 1 \\ 10B &= 1 \quad {\color{blue} \text{(1p) voor beide samen}} \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1501)#\[\begin{align} 52A &= 1 \\ A &= \dfrac{1}{42} \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]
(1502)#\[\begin{align} 10B &= 1 \\ B &= \dfrac{1}{10} \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waardes voor \(C_1\) en \(C_2\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(1503)#\[\begin{align} y_p = \dfrac{1}{42}e^{4x} + \dfrac{1}{10} \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1504)#\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= C_1\cos(\sqrt{5}x) + C_2\sin ( \sqrt{5}x ) + \dfrac{1}{42}e^{4x} + \dfrac{1}{10} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \quad {\color{blue} \text{(1p) alleen als beide goed}} \end{align}\]

Opgave 7 (17 punten)#

Antwoord

\[\begin{align*} I &= \dfrac{217}{101}e^{-10t} + \dfrac{150}{101}\sin(t) - \dfrac{15}{101}\cos(t) \end{align*}\]
Uitwerking

Voor een RL-kring geldt:

(1505)#\[\begin{align} U(t) &= U_L + U_r \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \\ &= L \cdot \dfrac{dI}{dt} + R \cdot I \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De gegevens invullen in de DV geeft:

(1506)#\[\begin{align} U(t) &= 2 \cdot \dfrac{dI}{dt} + 20 \cdot I\\ 30 \sin(t) &= 2 \cdot \dfrac{dI}{dt} + 20 \cdot I \\ 30 \sin(t) &= 2 \cdot \dfrac{dI}{dt} + 20 \cdot I \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1507)#\[\begin{align} I = I_h + I_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1508)#\[\begin{align} 2\dfrac{dI}{dt} + 20I = 0 \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(1509)#\[\begin{align} I_h = Ce^{\lambda t} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1510)#\[\begin{align} 2\lambda \cdot Ce^{\lambda t} + 20\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \\ (2\lambda +20 )\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\). \ Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,

(1511)#\[\begin{align} 2\lambda +20 &= 0 \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \\ 2\lambda &= -20 \\ \lambda &= -10 \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda =-10\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(1512)#\[\begin{align} I_h = Ce^{-10t} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(1513)#\[\begin{align} I_p &= C_1\cos(t) + C_2\sin(t) \quad {\color{blue} \text{(1p)}}\\ I'_p &= -C_1\sin(t) + C_2\cos(t) \\ \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1514)#\[\begin{align} 2 \cdot (-C_1\sin(t) + C_2\cos(t)) + 20 (C_1 \cos(t)+C_2 \sin(t)) &= 30\sin(t) \\ (20C_1+2C_2)\cos(t) + (-2C_1+20C_2)\sin(t) &= 30\sin(t) \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(1515)#\[\begin{align} 20C_1+2C_2 &= 0 \\ -2C_1+20C_2 &= 30 \quad {\color{blue} \text{(1p) voor beide samen}} \\ \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1516)#\[\begin{align} 2C_2 &= -20C_1 \\ C_2 &= -10C_1 \end{align}\]

\(C_2 \) invullen geeft:

(1517)#\[\begin{align} -2C_1 + 20 \cdot (-10C_1) &= 30\\ -2C_1 -200C_1 &= 30\\ C_1 &= -\dfrac{30}{202} = -\dfrac{15}{101} \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

\(C_1 \) invullen geeft:

(1518)#\[\begin{align} C_2 &= -10C_1 \\ C_2 &= -10 \cdot -\dfrac{30}{202} \\ C_2 &= \dfrac{300}{202} = \dfrac{150}{101} \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waardes voor \(C_1\), \(C_2\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(1519)#\[\begin{align} I_p = \dfrac{150}{101}\sin(t) - \dfrac{15}{101}\cos(t) \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1520)#\[\begin{align} I &= I_h + I_p \\ I &= Ce^{-10t} + \dfrac{150}{101}\sin(t) - \dfrac{15}{101}\cos(t) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om C te bepalen. \(I(0) = 2\)

Dus invullen geeft:

(1521)#\[\begin{align} 2 &= Ce^{- \cdot 0} +\dfrac{150}{101}\sin(0) - \dfrac{15}{101}\cos(0) \quad {\color{blue} \text{(1p)}}\\ 2 &= C \cdot 1 +\dfrac{150}{101}\cdot 0 - \dfrac{15}{101}\cdot 1 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1522)#\[\begin{align} C &= 2 + \dfrac{15}{101} \\ C &= \dfrac{217}{101} \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Dus C invullen in de totale oplossing geeft:

(1523)#\[\begin{align} I &= \dfrac{217}{101}e^{-10t} + \dfrac{150}{101}\sin(t) - \dfrac{15}{101}\cos(t) \quad {\color{blue} \text{(1p) goed of fout}} \end{align}\]

Opgave 8 (10 punten)#

Antwoord

\[\begin{align*} u &= 0.05 \cos(8t) \end{align*}\]
Uitwerking

Voor een massa-veer-systeem geldt:

(1524)#\[\begin{align} F_{res} &= - F_v \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \\ F_{res} &= - c\cdot u\\ m \cdot a &= - c\cdot u \\ m \cdot \dfrac{d^2 u}{dt^2} &= - c\cdot u\quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De gegevens invullen in de D.V. geeft:

(1525)#\[\begin{align} m \cdot \dfrac{d^2 u}{dt^2} &= - c\cdot u \\ 10 \cdot \dfrac{d^2 u}{dt^2} &= -640 \cdot u \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1526)#\[\begin{align} 10\dfrac{d^2u}{dt^2} +640u = 0 \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(1527)#\[\begin{align} u_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(1528)#\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1529)#\[\begin{align} 10(\lambda^2 Ce^{\lambda x}) + 640(Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (10\lambda^2+640 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\). \ Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(1530)#\[\begin{align} 10\lambda^2 + 640 &= 0 \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(1531)#\[\begin{align} D = (0)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 640 = -25600 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(1532)#\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{0 \pm i\sqrt{25600}}{2 \cdot 10}\\ \lambda_{1,2} &= \dfrac{0 \pm 160i}{2 \cdot 10}\\ \lambda_{1,2} &= -0 \pm 8 \cdot i \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Hieruit volgt dat \(p=0\) en \(q=8\)

De waarde voor \(p\) en \(q\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(1533)#\[\begin{align} u_h &= e^{px}(C_1\cos(qt) + C_2\sin(qt)) \\ u_h &= e^{0\cdot x}(C_1\cos(8t) + C_2\sin (8t ) ) \\ u_h &= C_1\cos(8t) + C_2\sin (8t ) \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om \(C_1\) en \(C_2\) te bepalen, \(u(0) = 0.05\) en \(u'(0) = 0\)\ \

Dus invullen geeft:

(1534)#\[\begin{align} u &= C_1\cos(8t) + C_2\sin (8t ) \\ 0.05 &= C_1\cos(8 \cdot 0 ) + C_2\sin (8 \cdot 0) \\ 0.05 &= C_1 \cdot 1 + 0 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1535)#\[\begin{align} C_1 = 0.05 \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

\(C_1 \) invullen geeft:

(1536)#\[\begin{align} u' &= -8 C_1\sin(8t) + 8 C_2\cos (8t ) \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \\ 0 &= -8 C_1\sin(8 \cdot 0) + 8 C_2\cos (8 \cdot 0 ) \\ 0 &= 0 + 8 \cdot C_2 \cdot 1 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1537)#\[\begin{align} C_2 &= 0 \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Dus \(C_1\) en \(C_2\) invullen in de totale oplossing geeft:

(1538)#\[\begin{align} u &= C_1\cos(8t) + C_2\sin (8t ) \\ u &= 0.05 \cos(8t) \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]
Contents