2425 - WIS1-T3: Uitwerkingen

Opgave 1 (4 punten)

Antwoord

Uitwerking

\[\begin{align*} S(t) &= b \cdot g^t \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \\ &= 500 \cdot 1.05^{t/12} \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \\ &= 500 \cdot 1.004^{t} \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align*}\]

\[\begin{align*} S(5) &= 500 \cdot 1.004^{5}\\ &= 510.27 \end{align*}\]

Dus na 5 maanden is er \(510.27\) euro aan spaargeld. \(\quad {\color{blue} \text{(1p)}}\)

Of \(510.08\) bij vroegtijdige afronding

Opgave 2 (9 punten)

Antwoord

Uitwerking

Los de volgende vergelijking op:

\[\begin{align*} \log \left( \sqrt{x}+6 \right) &= \log \left (\dfrac{x}{4} \right )+ 2 \cdot \log \left(2 \right) \\ \log \left( \sqrt{x}+6 \right) &= \log \left (\dfrac{x}{4} \right )+ \log \left(4 \right) \quad {\color{blue} \text{(1p)}}\\ \log \left( \sqrt{x}+6 \right) &= \log \left (x \right )\quad {\color{blue} \text{(1p)}}\\ \sqrt{x}+6 &= x \quad {\color{blue} \text{(1p)}}\\ \sqrt{x} &= x-6 \quad {\color{blue} \text{(1p)}}\\ x &= x^2 - 12x + 36 \quad {\color{blue} \text{(1p)}}\\ x^2 - 13x + 36 &= 0 \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align*}\]

Oplossen geeft:

\[\begin{align*} (x-9)&(x+4) =0 \quad {\color{blue} \text{(1p)}}\\ x=9 &\vee x=-4 \quad {\color{blue} \text{(1p + 1p) }} \\ \text{voldoet} &\vee \text{voldoet niet} \quad {\color{blue} \text{niet gecontroleerd is (-1p)}} \end{align*}\]

Opgave 3 (2 punten)

Antwoord

Uitwerking

Gegeven de functie:

\[\begin{align*} f(x) &= e^{\sin(x)} \end{align*}\]

Bereken de afgeleiden van functie \(f(x)\).

\[\begin{align*} \dfrac{df(x)}{dx} &= e^{\sin(x)} \cdot \cos(x) \quad {\color{blue} \text{(1p + 1p)}} \end{align*}\]

Opgave 4 (2 punten)

Antwoord

Uitwerking

Gegeven de functie:

\[\begin{align*} g(x) &= \ln(3x) \end{align*}\]

Bereken de afgeleiden van functie \(g(x)\).

\[\begin{align*} \dfrac{dg(x)}{dx} &= \dfrac{1}{3x} \cdot 3 \quad {\color{blue} \text{(2p)}} \\ \dfrac{dg(x)}{dx} &= \dfrac{1}{x} \end{align*}\]

Opgave 5 (6 punten)

Antwoord

Uitwerking

\[\begin{align*} q(x)=a \cdot \cos(cx) \end{align*}\]

beginwaarde: \(a=3\) \(\quad {\color{blue} \text{(1p)}}\) periode: \(\dfrac{2\pi}{c} = 8\) geeft \(c = \dfrac{\pi}{4}\) \(\quad {\color{blue} \text{(1p)}}\)

\[\begin{align*} q(x)=3 \cdot \cos(\dfrac{\pi}{4}x) \end{align*}\]

\[\begin{align*} F &=. \sum_{i=1}^{4} q(x_i) \cdot \Delta x\quad {\color{blue} \text{(1p)}}\\ &=( q(0)+q(\dfrac{1}{2})+q(1)+q(\dfrac{3}{2})) \cdot \dfrac{1}{2}\quad {\color{blue} \text{(1p)}}\\ &\approx (3 + 2.77+2.12+1.15) \cdot \dfrac{1}{2}\quad {\color{blue} \text{(1p)}}\\ &\approx 4.52 \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align*}\]

Opgave 6 (5 punten)

Antwoord

Uitwerking

Gegeven de verdeelde belasting:

\[\begin{align*} q(x) &= 5 \cdot \cos \left (\dfrac{\pi}{2}x \right) \end{align*}\]

Bereken exact met behulp van een integraal het oppervlak onder de verdeelde belasting, \(q(x)\).

Beredeneer welke grootheid dit oppervlak voorstelt.

\[\begin{align*} F &= \int_{0}^{2} q(x) dx \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \\ &= \int_{0}^{2} 5 \cdot \cos \left( \dfrac{\pi}{2}x \right) dx \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \\ &= \left[ \dfrac{10}{\pi} \sin \left( \dfrac{\pi}{2}x \right) \right]^2_0 \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \\ &= 0 - 0 \\ &= 0 \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align*}\]

Het oppervlak heeft de eenheid \(N/m \cdot m = N\), dus kracht. \quad {\color{blue} \text{(1p)}}

Gegeven de verdeelde belasting:

\[\begin{align*} q(x) &= 3 \cdot \cos \left (\dfrac{\pi}{4}x \right) \end{align*}\]

Bereken exact met behulp van een integraal het oppervlak onder de verdeelde belasting, \(q(x)\).

Beredeneer welke grootheid dit oppervlak voorstelt.

\[\begin{align*} F &= \int_{0}^{2} q(x) dx \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \\ &= \int_{0}^{2} 3 \cdot \cos \left( \dfrac{\pi}{4}x \right) dx \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \\ &= \left[ \dfrac{12}{\pi} \sin \left( \dfrac{\pi}{4}x \right) \right]^2_0 \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \\ &= \dfrac{12}{\pi} - 0 \\ &= \dfrac{12}{\pi} \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align*}\]

Opgave 7 (11 punten)

Antwoord

Uitwerking

Gegeven de functies:

\[\begin{align*} f(x) &= 2 \cdot \cos(x) \qquad \text{ en} \\ g(x) &= \sqrt{3} \end{align*}\]

Bereken exact de oppervlakte van het gebied tussen de grafieken van \(f(x)\) en \(g(x)\) tussen \(0 \leq x \leq \pi\).

Snijpunt berekenen geeft:

\[\begin{align*} f(x) &= g(x) \\ 2 \cdot \cos(x) &= \sqrt{3} \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \\ \cos(x) &= \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align*}\]

Dus,

\[\begin{align*} x = \dfrac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \quad \vee \quad x = -\dfrac{\pi}{6} + k \cdot 2\pi \quad {\color{blue} \text{(1p + 1p)}} \end{align*}\]

Bepaal oppervlakte:

\[\begin{align*} Opp &= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (f(x)-g(x)) dx + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} (g(x)-f(x)) dx \\ &= \int_{0}^{\frac{\pi}{6}} (2 \cdot \cos(x)-\sqrt{3}) dx + \int_{\frac{\pi}{6}}^{\pi} (\sqrt{3}-2 \cdot \cos(x)) dx \quad {\color{blue} \text{(1p + 1p)}}\\ &= \left[ 2 \cdot \sin(x) -\sqrt{3}x \right]^{\frac{\pi}{6}}_{0} + \left[ \sqrt{3}x - 2 \cdot \sin(x) \right]_{\frac{\pi}{6}}^{\pi}\quad {\color{blue} \text{(1p+1p)}}\\ &=(1-\dfrac{\sqrt{3}}{6}\pi) + (\sqrt{3}\pi -\dfrac{\sqrt{3}}{6}\pi +1)\quad {\color{blue} \text{(1p+1p)}}\\ &=2 + \sqrt{3}\pi \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align*}\]

Opgave 8 (4 punten)

Antwoord

Uitwerking

Bereken de volgende onbepaalde integraal:

\[\begin{align*} \int sin(x) \cdot \cos^3(x) dx \end{align*}\]

Herschrijven tot;

\[\begin{align*} \int \cos^3(x) \cdot sin(x) dx \end{align*}\]

\[\begin{align*} \dfrac{d \cos(x)}{dx} &= -\sin(x)\\ d \cos(x)&=-\sin(x) dx\\ -d \cos(x) &= \sin(x) dx \end{align*}\]

Dus,

\[\begin{align*} &\int \cos^3(x) \cdot sin(x) dx \\ &=\int -\cos^3(x) d \cos(x) \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align*}\]

Stel: \(\cos(x)=u\)

\[\begin{align*} &\int -u^3 du \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \\ &= -\dfrac{1}{4}u^4 + C \quad {\color{blue} \text{(1p)}}\\ &= -\dfrac{1}{4}\cos^4(x) + C \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align*}\]