1.2 Controleren van de opossing

Theorie:

Bij een gegeven differentiaalvergelijking en (mogelijke) oplossing kan de juistheid van deze oplossing eenvoudig gecontroleerd worden door substitutie.

Voorbeeld: Controleren van de oplossing

Gegeven de differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} + y &= 0 \end{align*}\]

Stel de differentiaalvergelijking heeft als oplossing:

(1)\[\begin{align} y = C_1 \cos(x) \end{align}\]

Differentiëren van de functie geeft:

(2)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= -C_1 \sin(x) \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= -C_1 \cos(x) \end{align}\]

Substitutie in de D.V. geeft dan:

(3)\[\begin{align} \dfrac{d^2y}{dx^2} + y &= 0 \\ -C_1 \cos(x) + C_1\cos(x) &= 0 \end{align}\]

Oftewel 0 = 0 dus deze functie voldoet aan de differentiaalvergelijking en is een oplossing.

Oefening 1

Toon aan dat de gegeven oplossing voldoet aan de differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} 3\dfrac{dy}{dx} + y &= e^{2x} \qquad \text{geeft} \qquad y = Ce^{-\frac{1}{3}x} + \dfrac{1}{7}e^{2x} \end{align*}\]

Uitwerking

Toon aan dat de gegeven oplossing voldoet aan de differentiaalvergelijking.

Gegeven de differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} 3\dfrac{dy}{dx} + y &= e^{2x} \end{align*}\]

Stel de differentiaalvergelijking heeft als oplossing:

(4)\[\begin{align} y = Ce^{-\frac{1}{3}x} + \dfrac{1}{7}e^{2x} \end{align}\]

Differentiëren van de functie geeft:

(5)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= -\dfrac{1}{3}Ce^{-\frac{1}{3}x} + \dfrac{2}{7}e^{2x} \\ \end{align}\]

Substitutie in de D.V. geeft dan:

(6)\[\begin{align} 3\dfrac{dy}{dx} + y &= e^{2x} \\ 3 (-\dfrac{1}{3}Ce^{-\frac{1}{3}x} + \dfrac{2}{7}e^{2x}) + Ce^{-\frac{1}{3}x} + \dfrac{1}{7}e^{2x} &= e^{2x} \\ \dfrac{6}{7}e^{2x} + \dfrac{1}{7}e^{2x} &= e^{2x} e^{2x} &= e^{2x} \end{align}\]

Oftewel \(e^{2x}\) = \(e^{2x}\) dus deze functie voldoet aan de differentiaalvergelijking en is een oplossing.

Oefening 2

Toon aan dat de gegeven oplossing voldoet aan de differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dt} -4y = t \qquad \text{geeft} \qquad y = Ce^{4t} - \dfrac{1}{4}t - \dfrac{1}{16} \end{align*}\]

Uitwerking

Toon aan dat de gegeven oplossing voldoet aan de differentiaalvergelijking.

Gegeven de differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dt} -4y = t \end{align*}\]

Stel de differentiaalvergelijking heeft als oplossing:

(7)\[\begin{align} y = Ce^{4t} - \dfrac{1}{4}t - \dfrac{1}{16} \end{align}\]

Differentiëren van de functie geeft:

(8)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dt} &= 4Ce^{4t} - \dfrac{1}{4} \\ \end{align}\]

Substitutie in de D.V. geeft dan:

(9)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dt} - 4y &= t \\ 4Ce^{4t} - \dfrac{1}{4} - 4 (Ce^{4t} - \dfrac{1}{4}t - \dfrac{1}{16}) &= t \\ 4Ce^{4t} - \dfrac{1}{4} - 4Ce^{4t} + t + \dfrac{4}{16} &= t\\ t &= t \end{align}\]

Oftewel t = t dus deze functie voldoet aan de differentiaalvergelijking en is een oplossing.