6.4 Uitwerkingen

Opgave 6.1a

Antwoord

De stroomsterkte, I (t) als functie van tijd is:

Uitwerkingen

Bepaal de stroomsterkte \(I(t)\) in een RLC-netwerk als de volgende parameters zijn gegeven:

\(R = 20\)\(\Omega\), \(L=1\)H, $\(C =0.1\)F, \(U(t)=100\)V, \(I(0)=0.0\)A en \(I'(0)=1.0\)A/s

Voor een RLC-kring geldt:

(1026)\[\begin{align} U(t) &= U_L + U_r + U_c \\ &= L \cdot \dfrac{dI}{dt} + R \cdot I +\dfrac{1}{C} \int I dt \end{align}\]

Beide zijdes differenti”eren geeft de gevraagde DV.:

(1027)\[\begin{align} \dfrac{dU(t)}{dt} &= L \cdot \dfrac{d^2I}{dt^2} + R \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{C} \cdot I \end{align}\]

De gegevens invullen in de DV geeft:

(1028)\[\begin{align} \dfrac{dU(t)}{dt} &= 1 \cdot \dfrac{d^2I}{dt^2} + 20 \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{0.1} \cdot I\\ 0 &= 1 \cdot \dfrac{d^2I}{dt^2} + 20 \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{0.1} \cdot I\\ 0 &= \dfrac{d^2I}{dt^2} + 20 \cdot \dfrac{dI}{dt} + 10 \cdot I \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1029)\[\begin{align} \dfrac{d^2I}{dt^2} + 20\dfrac{dI}{dt} + 10I = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(1030)\[\begin{align} I = Ce^{\lambda t} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1031)\[\begin{align} \lambda^2 \cdot Ce^{\lambda t} +100\lambda \cdot Ce^{\lambda t} + 10\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \\ (\lambda^2 + 20\lambda +10 )\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,

(1032)\[\begin{align} \lambda^2 + 20\lambda +10 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(1033)\[\begin{align} D = (20)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 400-40=360 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(1034)\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{-20 \pm \sqrt{360}}{2 \cdot 1}\\ \lambda_{1,2} &= \dfrac{-20 \pm 6\sqrt{10}}{2 \cdot 1}\\ \lambda_{1} &= -10 + 3\sqrt{10} = -0.51\\ \lambda_{2} &= -10 - 3\sqrt{10} = -19.49\\ \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} I_h = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_1 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

(1035)\[\begin{align} I_h = C_1e^{-0.51x} + C_2e^{-19.49x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om \(C_1\) en \(C_2\) te bepalen. \(I(0) = 0\) en \(I'(0) = 1\)

Dus invullen geeft voor \(I(0) = 0\):

(1036)\[\begin{align} 0 &= C_1e^{-0.51 \cdot 0} + C_2e^{-19.49 \cdot 0} \\ 0 &= C_1e^{0} + C_2e^{0} \\ 0 &= C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 1 \\ 0 &= C_1 + C_2 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1037)\[\begin{align} C_1 &= -C_2 \end{align}\]

Dus invullen geeft voor \(I'(0) = 1\):

(1038)\[\begin{align} 1 &= -0.51C_1e^{-0.51 \cdot 0} -19.49C_2e^{-19.49 \cdot 0} \\ 1 &= -0.51C_1e^{0} -19.49C_2e^{0} \\ 1 &= -0.51C_1 \cdot 1 -19.49C_2 \cdot 1 \\ 1 &= -0.51C_1 -19.49C_2 \end{align}\]

\(C_1\) invullen geeft:

(1039)\[\begin{align} 1 &= -0.51 (-C_2) -19.49C_2 \\ 1 &= 0.51C_2 -19.49C_2 \\ 1 &= -18.98C_2 \\ C_2 &= -\dfrac{1}{18.98} = -0.0527 \end{align}\]

\(C_2\) invullen geeft:

(1040)\[\begin{align} C_1 &= -C_2 = 0.0527 \end{align}\]

Dus \(C_1\) en \(C_2\) invullen in de oplossing geeft:

(1041)\[\begin{align} I_h &= 0.0527e^{-0.51x} -0.0527e^{-19.49x} \end{align}\]

Opgave 6.1b

Antwoord

De stroomsterkte, I (t) als functie van tijd is:

(1042)\[\begin{align} I &= 0.1199e^{-0.010x} -0.0959e^{-9.989x} + 0.0429\sin(x) + 0.476\cos(x) \end{align}\]

Uitwerkingen

Bepaal de stroomsterkte \(I(t)\) in een RLC-netwerk als de volgende parameters zijn gegeven:

\(R = 50\)\(\Omega\), \(L=5\)H, $\(C =2\)F, \(U(t)=24 \cos(t)\)V, \(I(0)=0.5\)A en \(I'(0)=1.0\)A/s

Voor een RLC-kring geldt:

(1043)\[\begin{align} U(t) &= U_L + U_r + U_c \\ &= L \cdot \dfrac{dI}{dt} + R \cdot I +\dfrac{1}{C} \int I dt \end{align}\]

Beide zijdes differenti”eren geeft de gevraagde DV.:

(1044)\[\begin{align} \dfrac{dU(t)}{dt} &= L \cdot \dfrac{d^2I}{dt^2} + R \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{C} \cdot I \end{align}\]

De gegevens invullen in de DV geeft:

(1045)\[\begin{align} \dfrac{dU(t)}{dt} &= 5 \cdot \dfrac{d^2I}{dt^2} + 50 \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{2} \cdot I\\ -24\sin(t) &= 5 \cdot \dfrac{d^2I}{dt^2} + 50 \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{2} \cdot I\\ -24\sin(t) &=5 \cdot \dfrac{d^2I}{dt^2} + 50 \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{2} \cdot I \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1046)\[\begin{align} 5\dfrac{d^2I}{dt^2} + 50\dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{2}I = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(1047)\[\begin{align} I = Ce^{\lambda t} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1048)\[\begin{align} 5\lambda^2 \cdot Ce^{\lambda t} +50\lambda \cdot Ce^{\lambda t} + \dfrac{1}{2} \cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \\ (5\lambda^2 + 50\lambda +\dfrac{1}{2} )\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,

(1049)\[\begin{align} 5\lambda^2 + 50\lambda +\dfrac{1}{2} &= 0 \\ 10\lambda^2 + 100\lambda +1 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(1050)\[\begin{align} D = (100)^2 - 4 \cdot 10 \cdot 1 = 10000-40=9960 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(1051)\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{-100 \pm \sqrt{9960}}{2 \cdot 10}\\ \lambda_{1} &= -9.989\\ \lambda_{2} &= -0.010 \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} I_h = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_1 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

(1052)\[\begin{align} I_h = C_1e^{-0.010x} + C_2e^{-9.989x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(1053)\[\begin{align} y_p = C_1\sin(x) + C_2\cos(x) \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1054)\[\begin{align} 10 \cdot(-C_1\sin(x) - C_2\cos(x)) + 100 \cdot (C_1\cos(x) - C_2\sin(x)) + 1 \cdot (C_1\sin(x) + C_2\cos(x)) &= -48\sin(x) \\ -10C_1\sin(x) - 10C_2\cos(x) + 100C_1\cos(x) - 100C_2\sin(x)) + C_1\sin(x) + C_2\cos(x) = -48\sin(x) \\ (-10C_1 + C_1 - 100C_2) \sin(x) + (100C_1+C_2-10C_2)\cos(x) = -48\sin(x) \\ (-9C_1 - 100C_2) \sin(x) + (100C_1-9C_2)\cos(x) = -48\sin(x) \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(1055)\[\begin{align} -9C_1 - 100C_2 &= -48 \\ 100C_1-9C_2 &= 0 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1056)\[\begin{align} 100C_1-9C_2 &= 0 \\ 100C_1 &= 9C_2 \\ C_1 &= 0.09C_2 \end{align}\]

\(C_1 \) invullen geeft:

(1057)\[\begin{align} -9 \cdot 0.09C_2 - 100C_2 &= -48\\ -0.81C_2 - 100 C_2 &= -48\\ -100.81C_2 &= -48\\ C_2 &= 0.476 \end{align}\]

\(C_2 \) invullen geeft:

(1058)\[\begin{align} C_1 &= 0.09C_2 \\ C_1 &= 0.09 \cdot 0.476\\ C_1 &= 0.0429 \end{align}\]

De waardes voor \(C_1\), \(C_2\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(1059)\[\begin{align} I_p = 0.0429\sin(x) + 0.476\cos(x) \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1060)\[\begin{align} I &= I_h + I_p \\ I &= C_1e^{-0.010x} + C_2e^{-9.989x} + 0.0429\sin(x) + 0.476\cos(x) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om \(C_1\) en \(C_2\) te bepalen. \(I(0) = 0\) en \(I'(0) = 1\)

Dus invullen geeft voor \(I(0) = 0.5\):

(1061)\[\begin{align} 0.5 &= C_1e^{-0.010 \cdot 0} + C_2e^{-9.989 \cdot 0} + 0.0429\sin(0) + 0.476\cos(0) \\ 0.5 &= C_1e^{0} + C_2e^{0} + 0 + 0.476\\ 0.5 &= C_1 + C_2 + 0.476 \\ 0.024 &= C_1 + C_2 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1062)\[\begin{align} C_1 &= 0.024 -C_2 \end{align}\]

Dus invullen geeft voor \(I'(0) = 1\):

(1063)\[\begin{align} 1 &= -0.010C_1e^{-0.010 \cdot 0} -9.989C_2e^{-9.989 \cdot 0} + 0.0429\cos(0) - 0.476\sin(0) \\ 1 &= -0.010C_1e^{0} -9.989C_2e^{0} + 0.0429 - 0 \\ 1 &= -0.010C_1 -9.989C_2 + 0.0429 \\ 0.9571 &= -0.010C_1 -9.989C_2 \end{align}\]

\(C_1\) invullen geeft:

(1064)\[\begin{align} 0.9571 &= -0.010(0.024-C_2) -9.989C_2 \\ 0.9571 &= 2.4\cdot 10^{-4} + 0.010C_2 -9.989C_2 \\ 0.95676 &= -9.979C_2\\ C_2 &= -0.0959 \end{align}\]

\(C_2\) invullen geeft:

(1065)\[\begin{align} C_1 &= 0.024 - -0.0959\\ C_1 &= 0.1199 \end{align}\]

Dus \(C_1\) en \(C_2\) invullen in de totale oplossing geeft:

(1066)\[\begin{align} I &= 0.1199e^{-0.010x} -0.0959e^{-9.989x} + 0.0429\sin(x) + 0.476\cos(x) \end{align}\]