2.6 Uitwerkingen les 2

Opgave 1

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= \pm \sqrt{x^2 + C} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijkigen.

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x}{y} \end{align*}\]

Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.

\[\begin{align*} y\dfrac{dy}{dx} = x \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align*}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(1067)\[\begin{align} \int y\dfrac{dy}{dx} dx &= \int x dx \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).

(1068)\[\begin{align} \int y dy &= \int x dx \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De primitieven nemen van beide kanten.

(1069)\[\begin{align} \frac{1}{2}y^2 + C_1&= \frac{1}{2}x^2 + C_2 \qquad {\color{blue} \text{(2p)}} \\ y^2 &= x^2 + C_3\\ y &= \pm \sqrt{x^2 + C} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \quad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Opgave 2

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= \dfrac{-1}{\ln|x-3| + C} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{y^2}{x-3} \end{align*}\]

Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.

(1070)\[\begin{align} \dfrac{1}{y^2}\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{1}{x-3} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(1071)\[\begin{align} \int \dfrac{1}{y^2}\dfrac{dy}{dx} dx &= \int \dfrac{1}{x-3} dx \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).

(1072)\[\begin{align} \int \dfrac{1}{y^2} dy &= \int \dfrac{1}{x-3} dx \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De primitieven nemen van beide kanten.

(1073)\[\begin{align} -\dfrac{1}{y} + C_1 &= \ln|x-3| + C_2 \qquad {\color{blue} \text{(2p)}} \\ -\dfrac{1}{y} &= \ln|x-3| + C_3\\ y &= \dfrac{-1}{\ln|x-3| + C_3} \end{align}\]

dus,

(1074)\[\begin{align} y &= \dfrac{-1}{\ln|x-3| + C} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Opgave 3

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= \pm \sqrt{\dfrac{1}{-2x + C}} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} = y^3 \end{align*}\]

Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.

(1075)\[\begin{align} \dfrac{1}{y^3}\dfrac{dy}{dx} &= 1 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(1076)\[\begin{align} \int \dfrac{1}{y^3}\dfrac{dy}{dx} dx &= \int 1 dx \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).

(1077)\[\begin{align} \int \dfrac{1}{y^3} dy &= \int 1 dx \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De primitieven nemen van beide kanten.

(1078)\[\begin{align} -\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{y^2} + C_1 &= x + C_2 \qquad {\color{blue} \text{(2p)}} \\ -\dfrac{1}{2}\dfrac{1}{y^2} &= x + C_3\\ \dfrac{1}{y^2} &= -2x + C_4\\ y^2 &= \dfrac{1}{-2x + C_4}\\ y &= \pm \sqrt{\dfrac{1}{-2x + C_4}} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

dus,

(1079)\[\begin{align} y &= \pm \sqrt{\dfrac{1}{-2x + C}} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Opgave 4

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= \ln( x^3 + C) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} = 3x^2e^{-y} \end{align*}\]

Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.

(1080)\[\begin{align} \dfrac{1}{e^{-y}}\dfrac{dy}{dx} &= 3x^2\\ e^{y}\dfrac{dy}{dx} &= 3x^2 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(1081)\[\begin{align} \int e^{y}\dfrac{dy}{dx} dx &= \int 3x^2 dx \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).

(1082)\[\begin{align} \int e^{y} dy &= \int 3x^2 dx \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De primitieven nemen van beide kanten.

(1083)\[\begin{align} e^{y} + C_1 &= x^3 + C_2 \qquad {\color{blue} \text{(2p)}} \\ e^{y} &= x^3 + C_3\\ \ln(e^{y}) &= \ln( x^3 + C_3)\\ y &= \ln( x^3 + C_3) \end{align}\]

dus,

(1084)\[\begin{align} y &= \ln( x^3 + C) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Opgave 5

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= C \cdot \dfrac{1}{x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

\[\begin{align*} ydx + xdy = 0 \end{align*}\]

Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.

(1085)\[\begin{align} xdy &= -ydx\\ \dfrac{-1}{y}dy &= \dfrac{1}{x}dx \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen.

(1086)\[\begin{align} \int \dfrac{-1}{y}dy &= \int \dfrac{1}{x}dx \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De primitieven nemen van beide kanten.

(1087)\[\begin{align} -\ln|y| + C_1 &= \ln|x| + C_2 \qquad {\color{blue} \text{(2p)}} \\ -\ln|y| &= \ln|x| + C_3\\ \ln|y| &= -\ln|x| + C_3\\ |y| &= e^{-\ln|x| + C_3}\\ |y| &= e^{-\ln|x|} \cdot e^{C_3}\\ |y| &= e^{\ln|x^{-1}|} \cdot e^{C_3}\\ y &= \pm e^{\ln|x^{-1}|} \cdot e^{C_3}\\ y &= \pm \dfrac{1}{x} \cdot e^{C_3} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

y=0 voldoet aan de dv dus,

(1088)\[\begin{align} y &= C \cdot \dfrac{1}{x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Opgave 6

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= C \cdot e^{x^6 + x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} = 6x^5y+y\\ \dfrac{dy}{dx} = (6x^5+1)y\\ \end{align*}\]

Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.

(1089)\[\begin{align} \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx} &= 6x^5+1 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(1090)\[\begin{align} \int \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx} dx &= \int (6x^5+1) dx \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).

(1091)\[\begin{align} \int \dfrac{1}{y} dy &= \int (6x^5+1) dx \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De primitieven nemen van beide kanten.

(1092)\[\begin{align} \ln|y| + C_1 &= x^6 + x + C_2 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \\ \ln|y| &= x^6 + x + C_3\\ e^{\ln|y|} &= e^{x^6 + x + C_3}\\ |y| &= e^{x^6 + x + C_3}\\ |y| &= e^{x^6 + x} \cdot e^{C_3}\\ y &= \pm e^{x^6 + x} \cdot e^{C_3} \end{align}\]

y=0 voldoet aan de dv dus,

(1093)\[\begin{align} y &= C \cdot e^{x^6 + x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]