4.6 Uitwerkingen les 4

Opgave 1

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= C_1e^{-4 x} + C_2e^{-3 x} + \dfrac{7}{13}\sin(2x) + \dfrac{4}{13}\cos(2x) \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} + 7\dfrac{dy}{dx} +12 y = 10\cos(2x) \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1153)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1154)\[\begin{align} \dfrac{d^2y}{dx^2} + 7\dfrac{dy}{dx} +12 y = 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Als algemene oplossing voor de D.V. stel:

(1155)\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(1156)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1157)\[\begin{align} \lambda^2 Ce^{\lambda x} +7 (\lambda Ce^{\lambda x}) +12 (Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (\lambda^2 +7 \lambda +12 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(1158)\[\begin{align} \lambda^2 +7 \lambda +12 &= 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(1159)\[\begin{align} D = (7)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 12 = 49 - 48 = 1 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(1160)\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= -\dfrac{7 \pm \sqrt{1}}{2 \cdot 1}\\ \lambda_{1,2} &= -\dfrac{7 \pm 1}{2}\\ \lambda_{1} = -4 &\vee \lambda_{2} = -3 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de algemene oplossing geeft;

(1161)\[\begin{align} y_h &= C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_2 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \\ y_h &= C_1e^{-4 x} + C_2e^{-3 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(1162)\[\begin{align} y_p = A\sin(2x) + B\cos(2x) \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Dus,

(1163)\[\begin{align} \dfrac{dy_p}{dx} &= 2A\cos(2x) - 2B\sin(2x) \\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= -4A\sin(2x) - 4B\cos(2x) \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1164)\[\begin{align} (-4A\sin(2x) - 4B\cos(2x)) +7 \cdot (2A\cos(2x) - 2B\sin(2x)) +12 \cdot (A\sin(2x) + B\cos(2x)) &= 10\cos(2x) \\ -4C_1\sin(2x) - 4B\cos(2x) + 14A\cos(2x) - 14B\sin(2x)) + 12 A\sin(2x) +12 B\cos(2x) &= 10\cos(2x) \\ (-4A + 12A - 14B) \sin(2x) + (14A-4B+12B)\cos(2x)) &= 10\cos(2x)\\ (8A - 14B) \sin(2x) + (14A+8B)\cos(2x)) &= 10\cos(2x) \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De co\effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(1165)\[\begin{align} 8A - 14B &= 0 \\ 14A + 8B &= 10 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1166)\[\begin{align} 8 A - 14 B &= 0 \\ 8 A &= 14B \\ A &= \dfrac{14}{8}B \end{align}\]

\(C_1 \) invullen geeft:

(1167)\[\begin{align} 14 \cdot \dfrac{14}{8}B + 8B &= 10\\ \dfrac{98}{4}B + 8 B &= 10\\ \dfrac{130}{4}B &= 10\\ B &= \dfrac{40}{130} = \dfrac{4}{13} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

\(B \) invullen geeft:

(1168)\[\begin{align} A &= \dfrac{14}{8}B \\ A &= \dfrac{14}{8} \cdot \dfrac{4}{13} \\ A &= \dfrac{7}{13} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(1169)\[\begin{align} y_p = \dfrac{7}{13}\sin(2x) + \dfrac{4}{13}\cos(2x) \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Alternatieve methode :

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} + 7\dfrac{dy}{dx} +12 y = 10\cos(2x) \end{align*}\]

\[\begin{align*} (D^2 + 7D +12)y = 10\cos(2x) \end{align*}\]

(1170)\[\begin{align} y_p &= \dfrac{1}{D^2 + 7D +12} \cdot 10\cos(2x) \\ y_p &= 10 \cdot \dfrac{1}{D^2 + 7D +12} \cdot \cos(2x) \\ \end{align}\]

\(\cos(2x)\) dus \(-2\) invullen:

(1171)\[\begin{align} y_p &= 10 \cdot \dfrac{1}{D^2 + 7D +12} \cdot \cos(2x) \\ y_p &= 10 \cdot \dfrac{1}{-4 + 7D+ 12} \cdot \cos(2x) \\ y_p &= 10 \cdot \dfrac{1}{2D +8} \cdot \cos(2x) \end{align}\]

Merkwaardig product gebruiken dus teller en noemer vermenigvuldigen met \((2D-8)\):

(1172)\[\begin{align} y_p &= 10 \cdot \dfrac{2D-8}{4D^2-64} \cdot \cos(2x) \\ \end{align}\]

\(\cos(2x)\) dus \(-2\) invullen:

(1173)\[\begin{align} y_p &= 10 \cdot \dfrac{2D-8}{4\cdot -2^2-64} \cdot \cos(2x) \\ y_p &= 10 \cdot \dfrac{1}{4\cdot -4 -64}(2D-8) \cdot \cos(2x) \\ y_p &= 10 \cdot \dfrac{1}{-80}\cdot (2D-8) \cdot \cos(2x) \\ y_p &= \dfrac{10}{80}\cdot (2D-8) \cdot \cos(2x) \end{align}\]

Vermenigvuldigen en differentiëren, de \(D\) staat voor afgeleide nemen:

(1174)\[\begin{align} y_p &= \dfrac{4}{25}\cdot (2 \cdot -2\sin(2x) - 8 \cos(2x)) \\ y_p &= -\dfrac{16}{25}\sin(2x) + \dfrac{12}{25} \cos(2x) \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1175)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= C_1e^{-4 x} + C_2e^{-3 x} + \dfrac{7}{13}\sin(2x) + \dfrac{4}{13}\cos(2x) \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Opgave 2

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= e^{-\frac{1}{8}x}\left(C_1\cos\left(\dfrac{3\sqrt{7}}{8}x\right) + C_2\sin \left( \dfrac{3\sqrt{7}}{8}x \right)\right) + \dfrac{5}{4}x - \dfrac{5}{16} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} 4\dfrac{d^2y}{dx^2}+\dfrac{dy}{dx} +4y = 5x \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1176)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1177)\[\begin{align} 4\dfrac{d^2y}{dx^2}+\dfrac{dy}{dx} +4y = 0 \end{align}\]

Als algemene oplossing voor de D.V. stel:

(1178)\[\begin{align} y = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(1179)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1180)\[\begin{align} 4(\lambda^2 Ce^{\lambda x}) + (\lambda Ce^{\lambda x}) +4 (Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (4\lambda^2 + \lambda +4 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(1181)\[\begin{align} 4\lambda^2 + \lambda +4 &= 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(1182)\[\begin{align} D = 1^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 =1 - 64= -63 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(1183)\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{-1 \pm i\sqrt{63}}{2 \cdot 4}\\ \lambda_{1,2} &= -\dfrac{1}{8} \pm \dfrac{3\sqrt{7}}{8} \\ \lambda_{1,2} &= -\dfrac{1}{8} \pm \dfrac{3\sqrt{7}}{8} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Hieruit volgt dat \(p=-\dfrac{1}{8}\) en \(q=\dfrac{3\sqrt{7}}{8}\)

De waarde voor \(p\) en \(q\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y_h = e^{px}(C_1\cos(qx) + C_2\sin(qx)) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

(1184)\[\begin{align} y_h = e^{-\frac{1}{8}x}\left(C_1\cos\left(\dfrac{3\sqrt{7}}{8}x\right) + C_2\sin \left( \dfrac{3\sqrt{7}}{8}x \right)\right) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(1185)\[\begin{align} y_p = Ax + B \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Dus,

(1186)\[\begin{align} \dfrac{dy_p}{dx} &= A \\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= 0 \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1187)\[\begin{align} 4 \cdot (0) + (A) + 4 \cdot (Ax + B) &= 5x \\ A + 4Ax + 4B &= 5x \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(1188)\[\begin{align} 4A &= 5 \\ A + 4B &= 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1189)\[\begin{align} A = \dfrac{5}{4} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

\(A \) invullen geeft:

(1190)\[\begin{align} \dfrac{5}{4} + 4B &= 0\\ 4B &= -\dfrac{5}{4}\\ B &= -\dfrac{5}{16} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waardes voor \(C_1\), \(C_2\) en \(C_3\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(1191)\[\begin{align} y_p = \dfrac{5}{4}x - \dfrac{5}{16} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1192)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= e^{-\frac{1}{8}x}\left(C_1\cos\left(\dfrac{3\sqrt{7}}{8}x\right) + C_2\sin \left( \dfrac{3\sqrt{7}}{8}x \right)\right) + \dfrac{5}{4}x - \dfrac{5}{16} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Opgave 3

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= C_1 + C_2e^{3x} -\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}x \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2}-3\dfrac{dy}{dx} = 3x-2 \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1193)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1194)\[\begin{align} \dfrac{d^2y}{dx^2}-3\dfrac{dy}{dx} = 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Als algemene oplossing voor de D.V. stel:

(1195)\[\begin{align} y = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(1196)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1197)\[\begin{align} (\lambda^2 Ce^{\lambda x}) -3 (\lambda Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (\lambda^2 -3 \lambda )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(1198)\[\begin{align} \lambda^2 -3 \lambda &= 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(1199)\[\begin{align} D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 0 =9 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(1200)\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{3 \pm i\sqrt{9}}{2 \cdot 1}\\ \lambda_{1,2} &= \dfrac{3}{2} \pm \dfrac{\sqrt{9}}{2} \\ \lambda_{1,2} &= \dfrac{3}{2} \pm \dfrac{3}{2} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Hieruit volgt dat \(\lambda_1=0\) en \(\lambda_2=3\)

De waarde voor \(\lambda_1\) en \(\lambda_2\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y_h &= C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \\ y_h &= C_1e^{0 \cdot x} + C_2e^{3x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \\ y_h &= C_1 + C_2e^{3x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align*}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(1201)\[\begin{align} y_p = Ax + B \end{align}\]

B is al een oplossing van de homogene oplossing dus,

(1202)\[\begin{align} y_p &= (Ax + B)x \\ y_p &= Ax^2 + Bx \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Dus,

(1203)\[\begin{align} \dfrac{dy_p}{dx} &= 2Ax + B \\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= 2A \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1204)\[\begin{align} (2A) -3 (2Ax +B) &= 3x -2 \\ - 6Ax + 2A - 3B &= 3x -2 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(1205)\[\begin{align} -6A &= 3 \\ 2A - 3B &= -2 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1206)\[\begin{align} A = -\dfrac{3}{6} = -\dfrac{1}{2} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

\(A \) invullen geeft:

(1207)\[\begin{align} 2 \cdot -\dfrac{1}{2} - 3B &= 2 \\ -3B &= -1 \\ B &= \dfrac{1}{3} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(1208)\[\begin{align} y_p = -\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}x \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1209)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= C_1 + C_2e^{3x} -\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{3}x \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Opgave 4

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= (C_1 + C_2x)e^{3x} + \dfrac{5}{6}x^3e^{3x} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2}-6\dfrac{dy}{dx} +9y = 5xe^{3x} \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1210)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1211)\[\begin{align} \dfrac{d^2y}{dx^2}-6\dfrac{dy}{dx} +9y = 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Als algemene oplossing voor de D.V. stel:

(1212)\[\begin{align} y = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(1213)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1214)\[\begin{align} (\lambda^2 Ce^{\lambda x}) -6 (\lambda Ce^{\lambda x}) +9 (Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (\lambda^2 -6 \lambda + 9 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(1215)\[\begin{align} \lambda^2 -6 \lambda + 9 &= 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(1216)\[\begin{align} D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 =36 - 36 =0 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(1217)\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{6 \pm i\sqrt{0}}{2 \cdot 1}\\ \lambda_{1,2} &= \dfrac{6}{2} \pm \dfrac{\sqrt{0}}{2} \\ \lambda_{1,2} &= \dfrac{6}{2} \pm \dfrac{0}{2} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Hieruit volgt dat \(\lambda_1=3\) en \(\lambda_2=3\)

De waarde voor \(\lambda_1\) en \(\lambda_2\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y_h &= C_1e^{\lambda_1x} + C_2e^{\lambda_2x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \\ y_h &= C_1e^{3x} + C_2e^{3x}x \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \\ y_h &= (C_1 + C_2x)e^{3x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align*}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(1218)\[\begin{align} y_p = Axe^{3x} + Be^{3x} \end{align}\]

Axe^{3x} is al een oplossing van de homogene oplossing dus,

(1219)\[\begin{align} y_p &= (Axe^{3x} + Be^{3x})x \\ y_p &= Ax^2e^{3x} + Bxe^{3x} \end{align}\]

Bxe^{3x} is al een oplossing van de homogene oplossing dus,

(1220)\[\begin{align} y_p &= (Ax^2e^{3x} + Bxe^{3x})x \\ y_p &= Ax^3e^{3x} + Bx^2e^{3x} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Dus,

(1221)\[\begin{align} \dfrac{dy_p}{dx} &= 3Ax^2e^{3x} + 3Ax^3e^{3x} + 2Bxe^{3x} + 3Bx^2e^{3x} \\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= 6Axe^{3x} + 9Ax^2e^{3x} + 9Ax^2e^{3x} + 9Ax^3e^{3x} + 2Be^{3x} + 6Bxe^{3x} + 6Bxe^{3x} + 9Bx^2e^{3x} \\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= 9Ax^3e^{3x} + 18Ax^2e^{3x} + 6Axe^{3x} + 9Bx^2e^{3x} + 12Bxe^{3x}+2Be^{3x} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1222)\[\begin{align} (9Ax^3e^{3x} + 18Ax^2e^{3x} + 6Axe^{3x} + 9Bx^2e^{3x} + 12Bxe^{3x} + 2Be^{3x}) -6 (3Ax^2e^{3x} + 3Ax^3e^{3x} + 2Bxe^{3x} + 3Bx^2e^{3x}) + 9(Ax^3e^{3x} + Bx^2e^{3x}) &= 5xe^{3x} \\ 6Axe^{3x} + 2Be^{3x} &= 5xe^{3x} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(1223)\[\begin{align} 6A &= 5 \\ 2B &= 0\qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1224)\[\begin{align} A = \dfrac{5}{6} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1225)\[\begin{align} B = 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(1226)\[\begin{align} y_p = \dfrac{5}{6}x^3e^{3x} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1227)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= (C_1 + C_2x)e^{3x} + \dfrac{5}{6}x^3e^{3x} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Opgave 5

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) -\dfrac{1}{4}x\cos(2x) \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} 2\dfrac{d^2y}{dx^2}+8y = 2\sin(2x) \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1228)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1229)\[\begin{align} 2\dfrac{d^2y}{dx^2}+8y = 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Als algemene oplossing voor de D.V. stel:

(1230)\[\begin{align} y = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(1231)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1232)\[\begin{align} 2(\lambda^2 Ce^{\lambda x}) +8 (Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (2\lambda^2 + 8 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(1233)\[\begin{align} 2\lambda^2 +8 &= 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(1234)\[\begin{align} D = 0^2 - 4 \cdot 2 \cdot 8 = - 64 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(1235)\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{0 \pm i\sqrt{64}}{2 \cdot 2}\\ \lambda_{1,2} &= \pm \dfrac{\sqrt{64}}{4} \\ \lambda_{1,2} &= \pm \dfrac{8}{4} \\ \lambda_{1,2} &= \pm 2 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Hieruit volgt dat \(p=0\) en \(q=2\)

De waarde voor \(p\) en \(q\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y_h = e^{px}(C_1\cos(qx) + C_2\sin(qx)) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

(1236)\[\begin{align} y_h &= e^{0x}(C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x)) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \\ y_h &= C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(1237)\[\begin{align} y_p = A\sin(2x) + B\cos(2x) \end{align}\]

\(A\sin(2x)\) is al een oplossing van de homogene oplossing dus,

(1238)\[\begin{align} y_p &= (A\sin(2x) + B\cos(2x))x \\ y_p &= Ax\sin(2x) + Bx\cos(2x) \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Dus,

(1239)\[\begin{align} \dfrac{dy_p}{dx} &= A\sin(2x) + 2Ax\cos(2x) + Bcos(2x) - 2Bx\sin(2x) \\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= 2A\cos(2x) + 2A\cos(2x) - 4Ax\sin(2x) -2B\sin(2x) -2B\sin(2x) - 4Bx\cos(2x) \\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= 4A\cos(2x) - 4Ax\sin(2x) -4B\sin(2x) - 4Bx\cos \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1240)\[\begin{align} 2 \cdot (4A\cos(2x) - 4Ax\sin(2x) -4B\sin(2x) - 4Bx\cos) + 8 \cdot (Ax\sin(2x) + Bx\cos(2x)) &= 2\sin(2x) \\ (8A\cos(2x) - 8Ax\sin(2x) -8B\sin(2x) - 8Bx\cos) + (8Ax\sin(2x) + 8Bx\cos(2x)) &= 2\sin(2x) \\ 8A\cos(2x) - 8B\sin(2x) &= 2\sin(2x) \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(1241)\[\begin{align} 8A &= 0 \\ -8B &= 2 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1242)\[\begin{align} B = -\dfrac{2}{8} = -\dfrac{1}{4} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1243)\[\begin{align} A = 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(1244)\[\begin{align} y_p = -\dfrac{1}{4}x\cos(2x) \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1245)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= C_1\cos(2x) + C_2\sin(2x) -\dfrac{1}{4}x\cos(2x) \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]