3.2 Inhomogene vergelijkingen

3.2 Inhomogene vergelijkingen#

Theorie

De volgende stap is het oplossen van inhomogene eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten:

\begin{array}{r} \frac{d y}{d x} + a y = f (x) d x \end{array}

Belangrijk hierbij is realiseren dat bij een oplossing van de inhomogene vergelijking altijd een oplossing van de homogene vergelijking opgeteld kan worden. De algemene oplossing van de inhomogene vergelijking kan dus gevonden worden door de volgende stappen te doorlopen:

Vind de algemene oplossing van de corresponderende homogene vergelijking; $y_{h}$ .
Vind een oplossing van de inhomogene vergelijking; $y_{p}$ . Dit wordt een particuliere oplossing genoemd.
De algemene oplossing wordt gegeven door $y = y_{h} + y_{p}$ .

Het vinden van een particuliere oplossing is de grootste uitdaging bij het oplossen van inhomogene eerste orde lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten. De vorm van het rechterlid van de vergelijking $f (x)$ is een belangrijke aanwijzing voor de vorm van de particuliere oplossing. In het algemeen worden vormen gekozen die in het rechterlid voorkomen en hun afgeleiden. Door invullen in de differentiaalvergelijking worden de coëfficiënten bepaald. Deze methode wordt ook wel de methode van onbepaalde coëfficiënten genoemd. Een aantal concrete richtlijnen voor de particuliere oplossing zijn:

Als $f (x)$ een polynoom is, dat wil zeggen $f (x) = b_{n} x^{n} + b_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + b_{1} x + b_{0}$ , kies dan $y_{p} = A_{n} x^{n} + B_{n - 1} x^{n - 1} + . . . + D x + E$ .
Als $f (x) = b 1 \cos (ω x) + b 2 \sin (ω x)$ , kies dan $y_{p} = A \cos (ω x) + B \sin (ω x)$ .
Als $f (x) = b e^{k x}$ , en dit geen oplossing is van de homogene vergelijking, neem dan $y_{p} = A e^{k x}$ . Als $e^{k x}$ een oplossing is van de homogene vergelijking neem dan $y_{p} = A x e^{k x}$ .

3.2.1 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ #

Voorbeeld 1: Polynoom

Vind de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\begin{array}{r} \frac{d y}{d x} + 2 y = 3 x \end{array}

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(136)#

\begin{array}{r} y = y_{h} + y_{p} \end{array}

De homogene D.V. wordt:

(137)#

\begin{array}{r} \frac{d y}{d x} + 2 y = 0 \end{array}

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(138)#

\begin{array}{r} y_{h} = C e^{λ x} met C \in R \end{array}

Invullen in de D.V. geeft:

(139)#

\begin{aligned} λ \cdot C e^{λ x} + 2 \cdot C e^{λ x} & = 0 \\ (λ + 2) \cdot C e^{λ x} & = 0 \end{aligned}

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor $C \neq 0$ .
Verder geldt dat $e^{λ x} \neq 0$ .

Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:

(140)#

\begin{aligned} λ + 2 & = 0 \\ λ & = - 2 \end{aligned}

De waarde voor $λ = - 2$ invullen in de homogene oplossing geeft;

(141)#

\begin{array}{r} y_{h} = C e^{- 2 x} met C \in R \end{array}

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(142)#

\begin{array}{r} y_{p} = A x + B \end{array}

Invullen in de D.V. geeft:

(143)#

\begin{aligned} A + 2 \cdot (A x + B) & = 3 x \\ A + 2 A x + 2 B & = 3 x \\ 2 A x + A + 2 B & = 3 x \end{aligned}

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(144)#

\begin{aligned} 2 A & = 3 \\ A + 2 B & = 0 \end{aligned}

Hieruit volgt:

(145)#

\begin{array}{r} A = \frac{3}{2} \end{array}

$A$ invullen geeft:

(146)#

\begin{aligned} \cdot \frac{3}{2} + 2 B & = 0 \\ 2 B & = - \frac{3}{2} \\ B & = - \frac{3}{4} \end{aligned}

De waardes voor $A$ , $B$ invullen in de particuliere oplossing geeft:

(147)#

\begin{array}{r} y_{p} = \frac{3}{2} x - \frac{3}{4} \end{array}

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(148)#

\begin{aligned} y & = y_{h} + y_{p} \\ y & = C e^{- 2 x} + \frac{3}{2} x - \frac{3}{4} met C \in R \end{aligned}

Oefening 1

Vind de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\begin{array}{r} 4 \frac{d y}{d x} - 8 y = 2 x^{2} + 7 x \end{array}

Oefening 2

Vind de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\begin{array}{r} \frac{d y}{d x} + 5 y = 6 x^{2} + 3 \end{array}

3.2.2 $f (x) = a e^{b x}$ #

Voorbeeld 2: e-macht

\begin{aligned} 4 \frac{d y}{d x} + 8 y & = e^{2 x} \end{aligned}

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(179)#

\begin{array}{r} y = y_{h} + y_{p} \end{array}

De homogene D.V. wordt:

(180)#

\begin{array}{r} 4 \frac{d y}{d x} + 8 y = 0 \end{array}

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(181)#

\begin{array}{r} y_{h} = C e^{λ x} met C \in R \end{array}

Invullen in de D.V. geeft:

(182)#

\begin{aligned} 4 λ \cdot C e^{λ x} + 8 \cdot C e^{λ x} & = 0 \\ (4 λ + 8) \cdot C e^{λ x} & = 0 \end{aligned}

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor $C \neq 0$ .
Verder geldt dat $e^{λ x} \neq 0$ .

Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:

(183)#

\begin{aligned} 4 λ + 8 & = 0 \\ 4 λ & = - 8 \\ λ & = - 2 \end{aligned}

De waarde voor $λ = - 2$ invullen in de homogene oplossing geeft;

(184)#

\begin{array}{r} y_{h} = C e^{- 2 x} met C \in R \end{array}

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(185)#

\begin{array}{r} y_{p} = A e^{2 x} \end{array}

Dus,

(186)#

\begin{array}{r} \frac{d y_{p}}{d x} = 2 A e^{2 x} \end{array}

Invullen in de D.V. geeft:

(187)#

\begin{array}{r} 4 \cdot 2 A e^{2 x} + 8 \cdot (A e^{2 x}) = e^{2 x} \\ 8 A e^{2 x} + 8 A e^{2 x} = e^{2 x} \\ 16 A e^{2 x} = e^{2 x} \end{array}

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(188)#

\begin{aligned} 16 A & = 1 \end{aligned}

Hieruit volgt:

(189)#

\begin{aligned} A & = \frac{1}{16} \end{aligned}

De waarde voor $A$ en invullen in de particuliere oplossing geeft:

(190)#

\begin{array}{r} y_{p} = \frac{1}{16} e^{2 x} \end{array}

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(191)#

\begin{aligned} y & = y_{h} + y_{p} \\ y & = C e^{- 2 x} + \frac{1}{16} e^{2 x} met C \in R \end{aligned}

Oefening 3

Bepaal de oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\begin{aligned} 5 \frac{d y}{d x} - y & = e^{- 7 x} \end{aligned}

Oefening 4

Bepaal de oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\begin{aligned} 3 \frac{d y}{d x} - 9 y & = 3 e^{3 x} \end{aligned}

3.2.3 $f (x) = a \sin (x) + b \cos (x)$ #

Voorbeeld 3: goniometrische functies

\begin{aligned} \frac{d y}{d x} + 3 y + \sin (x) & = 0 \\ \frac{d y}{d x} + 3 y & = - \sin (x) \end{aligned}

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(219)#

\begin{array}{r} y = y_{h} + y_{p} \end{array}

De homogene D.V. wordt:

(220)#

\begin{array}{r} \frac{d y}{d x} + 3 y = 0 \end{array}

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(221)#

\begin{array}{r} y_{h} = C e^{λ x} met C \in R \end{array}

Invullen in de D.V. geeft:

(222)#

\begin{aligned} λ \cdot C e^{λ x} + 3 \cdot C e^{λ x} & = 0 \\ (λ + 3) \cdot C e^{λ x} & = 0 \end{aligned}

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor $C \neq 0$ .
Verder geldt dat $e^{λ x} \neq 0$ .

Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:

(223)#

\begin{aligned} λ + 3 & = 0 \\ λ & = - 3 \end{aligned}

De waarde voor $λ = 3$ invullen in de homogene oplossing geeft;

(224)#

\begin{array}{r} y_{h} = C e^{- 3 x} met C \in R \end{array}

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(225)#

\begin{array}{r} y_{p} = A s i n (x) + B c o s (x) \end{array}

Invullen in de D.V. geeft:

(226)#

\begin{aligned} (A \cos (x) - B \sin (x)) + 3 \cdot (A \sin (x) + B \cos (x)) & = - \sin (x) \\ A \cos (x) - B \sin (x) + 3 A \sin (x) + 3 B \cos (x) & = - \sin (x) \\ (- B + 3 A) \sin (x) + (A + 3 B) \cos (x) & = - \sin (x) \end{aligned}

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(227)#

\begin{array}{r} - B + 3 A = - 1 \\ A + 3 B = 0 \end{array}

Hieruit volgt:

(228)#

\begin{array}{r} B = - \frac{1}{3} A \end{array}

$B$ invullen geeft:

(229)#

\begin{aligned} - (- \frac{1}{3} A) + 3 A & = - 1 \\ \frac{1}{3} A + \frac{9}{3} A & = - 1 \\ \frac{1}{3} A + \frac{9}{3} A & = - 1 \\ \frac{10}{3} A & = - 1 \\ A & = - \frac{3}{10} \end{aligned}

$A$ invullen geeft:

(230)#

\begin{aligned} B & = - \frac{1}{3} A \\ B & = - \frac{1}{3} \cdot - \frac{3}{10} \\ B & = \frac{1}{10} \end{aligned}

De waardes voor $A$ , $B$ invullen in de particuliere oplossing geeft:

(231)#

\begin{array}{r} y_{p} = - \frac{3}{10} \sin (x) + \frac{1}{10} \cos (x) \end{array}

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(232)#

\begin{aligned} y & = y_{h} + y_{p} \\ y & = C e^{- 3 x} - \frac{3}{10} \sin (x) + \frac{1}{10} \cos (x) met C \in R \end{aligned}

Oefening 5

Bepaal de oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\begin{aligned} 2 \frac{d y}{d x} - 4 y & = 3 \cos (x) \end{aligned}

Oefening 6

Bepaal de oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\begin{aligned} 7 \frac{d y}{d x} + 3 y & = 4 \sin (2 x) + 2 \cos (2 x) \end{aligned}

3.2.4 Combinaties#

Oefening 7

Bepaal de oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\begin{aligned} 2 \frac{d y}{d x} - 6 y & = e^{2 x} + 2 \end{aligned}

Oefening 8

Bepaal de oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\begin{aligned} 3 \frac{d y}{d x} + y & = 2 e^{x} + 2 \cos (x) \end{aligned}

3.2 Inhomogene vergelijkingen

Contents

3.2 Inhomogene vergelijkingen#

3.2.1 f(x)=ax2+bx+c#

3.2.2 f(x)=aebx#

3.2.3 f(x)=asin⁡(x)+bcos⁡(x)#

3.2.4 Combinaties#

3.2.1 $f (x) = a x^{2} + b x + c$ #

3.2.2 $f (x) = a e^{b x}$ #

3.2.3 $f (x) = a \sin (x) + b \cos (x)$ #