5.1 Thermisch-systeem

5.1 Afkoelingswet van Newton

Theorie

De afkoelingswet van Newton beschrijft hoe de temperatuur van een voorwerp zich aanpast aan de temperatuur van zijn omgeving. Er geldt dat de afname van temperatuur van het voorwerp evenredig is met het verschil tussen de temperatuur van het voorwerp en de omgevingstemperatuur. Neem \(T\) de temperatuur van het voorwerp, dus \(T\) is een functie van de tijd \(t\). De omgevingstemperatuur is \(T_0\). Nu kan er een differentiaalvergelijking worden opgesteld:

\[\begin{align*} \dfrac{dT}{dt} = -k(T-T_0) \end{align*}\]

Hierbij is \(k\) een evenredigheidsconstante. Deze is afhankelijk van het afkoelende voorwerp/materiaal. In de meeste gevallen zal de temperatuur van het voorwerp op 2 momenten bekend zijn, zodat zowel de integratieconstante als de evenredigheidsconstante bepaald kunnen worden.

Voorbeeld 1: Afkoelingswet

Bepaal de temperatuurverloop van een kop soep \(T(t)\) als de volgende parameters zijn gegeven:

Een kop soep met een temperatuur van 90\(^{\circ}\) C wordt in een ruimte gezet waar de temperatuur 20\(^{\circ}\) C is. Na 2 minuten is de kop soep afgekoelt tot een temperatuur van 80\(^{\circ}\) C.

Voor de afkoelingswet geldt:

(781)\[\begin{align} \dfrac{dT}{dt} = -k(T-T_0) \end{align}\]

Dit kan omgeschreven worden naar de volgende DV;

(782)\[\begin{align} \dfrac{dT}{dt} &= -k(T-T_0) \\ \dfrac{dT}{dt} + kT &= kT_0 \\ \dfrac{dT}{dt} + kT &= 20k \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(783)\[\begin{align} \dfrac{dT}{dt} + kT = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(784)\[\begin{align} T_h = Ce^{\lambda t} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(785)\[\begin{align} \lambda \cdot Ce^{\lambda t} + k\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \\ (\lambda +k )\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,

(786)\[\begin{align} \lambda +k &= 0 \\ \lambda &= -k \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(787)\[\begin{align} T_h = Ce^{-kt} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.

Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(788)\[\begin{align} T_p &= A \\ T_p' &= 0 \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(789)\[\begin{align} 1 \cdot ( 0 ) + k ( A ) &= 20k \\ \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(790)\[\begin{align} kA &= 20k \\ A &= 20 \end{align}\]

De waarde voor \(A\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(791)\[\begin{align} T_p = 20 \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(792)\[\begin{align} T &= T_h + T_p \\ T &= Ce^{-kt} + 20 \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om C te bepalen. \(T(0) = 90\)

Dus invullen geeft:

(793)\[\begin{align} 90 &= Ce^{-k \cdot 0 } + 20 \\ 90 &= C \cdot 1 + 20 \\ C &= 70 \end{align}\]

Dus C invullen in de totale oplossing geeft:

(794)\[\begin{align} T &= 70e^{-kt} + 20 \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om k te bepalen. \(T(2) = 80\) Dus invullen geeft:

(795)\[\begin{align} 80 &= 70e^{-2k} + 20 \\ 60 &= 70e^{-2k} \\ \dfrac{60}{70} &= e^{-2k} \\ \ln(\dfrac{60}{70} ) &= -2k \\ k &= -\dfrac{1}{2} \cdot \ln(\dfrac{60}{70}) \\ k &= 0.0771 \end{align}\]

Dus k invullen in de totale oplossing geeft:

(796)\[\begin{align} T &= 70e^{-0.0771t} + 20 \end{align}\]

Met deze formule kan nu de temperatuur van de soep na een bepaalde tijd berekent worden of de tijd kan berekent worden wanneer de soep een bepaalde temperatuur zal hebben.

Oefening 1

Na hoeveel minuten heeft een hard gekookt een temepratuur bereikt van 20\(^{\circ}\) C als de volgende parameters zijn gegeven:

Een hard gekookt ei met een temperatuur van 98\(^{\circ}\) C wordt in een pan met water gelegd waar de temperatuur 18\(^{\circ}\) C is. Na 5 minuten is het ei afgekoelt tot een temperatuur van 38\(^{\circ}\) C.

Uitwerking

Na hoeveel minuten heeft een hard gekookt een temepratuur bereikt van 20\(^{\circ}\) C als de volgende parameters zijn gegeven:

Een hard gekookt ei met een temperatuur van 98\(^{\circ}\) C wordt in een pan met water gelegd waar de temperatuur 18\(^{\circ}\) C is. Na 5 minuten is het ei afgekoelt tot een temperatuur van 38\(^{\circ}\) C.

Voor de afkoelingswet geldt:

(797)\[\begin{align} \dfrac{dT}{dt} = -k(T-T_0) \end{align}\]

Dit kan omgeschreven worden naar de volgende DV;

(798)\[\begin{align} \dfrac{dT}{dt} &= -k(T-T_0) \\ \dfrac{dT}{dt} + kT &= kT_0 \\ \dfrac{dT}{dt} + kT &= 18k \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(799)\[\begin{align} \dfrac{dT}{dt} + kT = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(800)\[\begin{align} T_h = Ce^{\lambda t} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(801)\[\begin{align} \lambda \cdot Ce^{\lambda t} + k\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \\ (\lambda +k )\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,

(802)\[\begin{align} \lambda +k &= 0 \\ \lambda &= -k \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(803)\[\begin{align} T_h = Ce^{-kt} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.

Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(804)\[\begin{align} T_p &= A \\ T_p' &= 0 \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(805)\[\begin{align} 1 \cdot ( 0 ) + k ( A ) &= 18k \\ \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(806)\[\begin{align} kA &= 18k \\ A &= 18 \end{align}\]

De waarde voor \(A\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(807)\[\begin{align} T_p = 18 \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(808)\[\begin{align} T &= T_h + T_p \\ T &= Ce^{-kt} + 18 \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om C te bepalen. \(T(0) = 98\)

Dus invullen geeft:

(809)\[\begin{align} 98 &= Ce^{-k \cdot 0 } + 18 \\ 98 &= C \cdot 1 + 18 \\ C &= 80 \end{align}\]

Dus C invullen in de totale oplossing geeft:

(810)\[\begin{align} T &= 80e^{-kt} + 18 \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om k te bepalen. \(T(5) = 38\) Dus invullen geeft:

(811)\[\begin{align} 38 &= 80e^{-5k} + 18 \\ 20 &= 80e^{-5k} \\ \dfrac{20}{80} &= e^{-5k} \\ \ln(\dfrac{1}{4} ) &= -5k \\ k &= -\dfrac{1}{5} \cdot \ln(\dfrac{1}{4} \\ k &= 0.277 \end{align}\]

Dus k invullen in de totale oplossing geeft:

(812)\[\begin{align} T &= 80e^{-0.277t} + 18 \end{align}\]

Na hoeveel minuten is de temperatuur 20\(^{\circ}\) C:

(813)\[\begin{align} 20 &= 80e^{-0.277t} + 18 \\ 2 &= 80e^{-0.277k} \\ \dfrac{2}{80} &= e^{-0.277t} \\ \ln(\dfrac{1}{40} ) &= -0.277t \\ t &= -\dfrac{1}{0.277} \cdot \ln(\dfrac{1}{40}) \\ t &\approx 13.32 \text{ minuten} \end{align}\]

Oefening 2

Wanneer werd de moord gepleegd? Er werd een moord gepleegd en om 24.00 uur (t = 0 ) werd een lichaamstemperatuur gemeten van 29.4\(^{\circ}\) C. Twee uur later was de temperatuur 27.3\(^{\circ}\) C.

De kamertemperatuur was 21\(^{\circ}\) C en we nemen aan dat de lichaamstemperatuur op het ogenblik van de moord 37\(^{\circ}\) C was. Wat is het vermoedelijke tijdstip van de moord?

Uitwerking

Wanneer werd de moord gepleegd? Er werd een moord gepleegd en om 24.00 uur (t = 0 ) werd een lichaamstemperatuur gemeten van 29.4\(^{\circ}\) C. Twee uur later was de temperatuur 27.3\(^{\circ}\) C.

De kamertemperatuur was 21\(^{\circ}\) C en we nemen aan dat de lichaamstemperatuur op het ogenblik van de moord 37\(^{\circ}\) C was. Wat is het vermoedelijke tijdstip van de moord?

Voor de afkoelingswet geldt:

(814)\[\begin{align} \dfrac{dT}{dt} = -k(T-T_0) \end{align}\]

Dit kan omgeschreven worden naar de volgende DV;

(815)\[\begin{align} \dfrac{dT}{dt} &= -k(T-T_0) \\ \dfrac{dT}{dt} + kT &= kT_0 \\ \dfrac{dT}{dt} + kT &= 21k \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(816)\[\begin{align} \dfrac{dT}{dt} + kT = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(817)\[\begin{align} T_h = Ce^{\lambda t} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(818)\[\begin{align} \lambda \cdot Ce^{\lambda t} + k\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \\ (\lambda +k )\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,

(819)\[\begin{align} \lambda +k &= 0 \\ \lambda &= -k \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(820)\[\begin{align} T_h = Ce^{-kt} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.

Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(821)\[\begin{align} T_p &= A \\ T_p' &= 0 \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(822)\[\begin{align} 1 \cdot ( 0 ) + k ( A ) &= 21k \\ \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(823)\[\begin{align} kA &= 21k \\ A &= 21 \end{align}\]

De waarde voor \(A\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(824)\[\begin{align} T_p = 21 \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(825)\[\begin{align} T &= T_h + T_p \\ T &= Ce^{-kt} + 21 \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om C te bepalen. \(T(0) = 29.4\)

Dus invullen geeft:

(826)\[\begin{align} 29.4 &= Ce^{-k \cdot 0 } + 21 \\ 29.4 &= C \cdot 1 + 21\\ C &= 8.4 \end{align}\]

Dus C invullen in de totale oplossing geeft:

(827)\[\begin{align} T &= 8.4e^{-kt} + 21 \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om k te bepalen. \(T(2) = 27.3\) Dus invullen geeft:

(828)\[\begin{align} 27.3 &= 8.4e^{-2k} + 21 \\ 6.3 &= 8.4e^{-2k} \\ \dfrac{6.3}{8.4} &= e^{-2k} \\ \ln(\dfrac{6.3}{8.4} ) &= -2k \\ k &= -\dfrac{1}{2} \cdot \ln(\dfrac{6.3}{8.4} \\ k &= 0.144 \end{align}\]

Dus k invullen in de totale oplossing geeft:

(829)\[\begin{align} T &= 8.4e^{-0.144t} + 21 \end{align}\]

Na hoeveel minuten is de temperatuur 37\(^{\circ}\) C:

(830)\[\begin{align} 37 &= 8.4e^{-0.144t} + 21 \\ 16 &= 8.4e^{-0.144t} \\ \dfrac{16}{8.4} &= e^{-0.144t} \\ \ln(\dfrac{16}{8.4} ) &= -0.144t \\ t &= -\dfrac{1}{0.144} \cdot \ln(\dfrac{16}{8.4}) \\ t &\approx -4.47 \text {uur} \end{align}\]

Dit komt overeen met -4 uur en 28 minuten, met andere woorden de moord gebeurde vermoedelijk om 19:32 uur