Voorbeeld: Scheiden van variabelen
\[\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} + 3y = 0
\end{align*}\]
Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.
(101)\[\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} &= -3y \\
\dfrac{1}{y} \dfrac{dy}{dx} &= -3
\end{align}\]
Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).
(102)\[\begin{align}
\int \dfrac{1}{y} \dfrac{dy}{dx} dx &= \int -3 dx
\end{align}\]
De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).
(103)\[\begin{align}
\int \dfrac{1}{y}dy &= \int -3 dx
\end{align}\]
De primitieven nemen van beide kanten.
(104)\[\begin{align}
\ln|y| + C_1 &= -3x + C_2\\
\ln|y| &= -3x + C_3\\
e^{\ln|y|} &= e^{-3x + C_3}\\
|y| &= e^{-3x + C_3}\\
|y| &= e^{-3x} \cdot e^{C_3}\\
y &= \pm e^{-3x} \cdot e^{C_3} \\
y &= \pm e^{C_3} \cdot e^{-3x}
\end{align}\]
Controle geeft dat \(y = 0\) een oplossing is van de differentiaalvergelijking dus de algemene oplossing is:
(105)\[\begin{align}
y &= Ce^{-3x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \\
\end{align}\]
3.1.1 Karakteristieke vergelijking
Theorie (Karakteristieke vergelijking)
Het is goed mogelijk deze differentiaalvergelijkingen op te lossen door scheiden van variabelen. Er bestaat ook een meer efficiënte manier om dit type differentiaalvergelijkingen op te lossen. De oplossing van een homogene eerste orde lineaire differentiaalvergelijking met constante coëfficiënten zal namelijk altijd een e-macht zijn. Stel daarom dat
\[\begin{align*}
y = Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R}
\end{align*}\]
Dus dan geldt dat
\[\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} = \lambda Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R}
\end{align*}\]
Invullen in de differentiaalvergelijking geeft:
\[\begin{align*}
\lambda \cdot Ce^{\lambda x} + a \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\
(\lambda + a )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0
\end{align*}\]
De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\) en verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).
Dus moet gelden dat:
\[\begin{align*}
\lambda + a &= 0 \\
\lambda &= -a
\end{align*}\]
De waarde voor \(\lambda =-a\) invullen in de algemene oplossing geeft;
\[\begin{align*}
y = Ce^{-ax} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R}
\end{align*}\]
De vergelijking \(λ+a = 0\) wordt de karakteristieke vergelijking genoemd.
Voorbeeld 1: Karakteristieke vergelijking
\[\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} + 3y = 0
\end{align*}\]
Als algemene oplossing voor de D.V. stel:
(106)\[\begin{align}
y = Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R}
\end{align}\]
Dus,
(107)\[\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} = \lambda Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R}
\end{align}\]
Invullen in de D.V. geeft:
(108)\[\begin{align}
\lambda \cdot Ce^{\lambda x} + 3 \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\
(\lambda +3 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0
\end{align}\]
De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\) en verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).
Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:
(109)\[\begin{align}
\lambda +3 &= 0 \\
\lambda &= -3
\end{align}\]
De waarde voor \(\lambda =-3\) invullen in de algemene oplossing geeft;
(110)\[\begin{align}
y = Ce^{-3x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R}
\end{align}\]
Oefening 1
Bepaal de oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:
\[\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} - 4y = 0
\end{align*}\]
\[\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} - 4y = 0
\end{align*}\]
Als algemene oplossing voor de D.V. stel:
(111)\[\begin{align}
y = Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R}
\end{align}\]
Dus,
(112)\[\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} = \lambda Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R}
\end{align}\]
Invullen in de D.V. geeft:
(113)\[\begin{align}
\lambda \cdot Ce^{\lambda x} - 4 \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\
(\lambda -4 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0
\end{align}\]
De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\) en verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).
Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:
(114)\[\begin{align}
\lambda -4 &= 0 \\
\lambda &= 4
\end{align}\]
De waarde voor \(\lambda =4\) invullen in de algemene oplossing geeft;
(115)\[\begin{align}
y = Ce^{4x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R}
\end{align}\]
Oefening 2
Bepaal de oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:
\[\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} + 9y = 0
\end{align*}\]
\[\begin{align*}
\dfrac{dy}{dx} + 9y = 0
\end{align*}\]
Als algemene oplossing voor de D.V. stel:
(116)\[\begin{align}
y = Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R}
\end{align}\]
Dus,
(117)\[\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} = \lambda Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R}
\end{align}\]
Invullen in de D.V. geeft:
(118)\[\begin{align}
\lambda \cdot Ce^{\lambda x} +9 \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\
(\lambda +9 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0
\end{align}\]
De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\) en verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).
Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:
(119)\[\begin{align}
\lambda +9 &= 0 \\
\lambda &= -9
\end{align}\]
De waarde voor \(\lambda =4\) invullen in de algemene oplossing geeft;
(120)\[\begin{align}
y = Ce^{-9x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R}
\end{align}\]
Theorie (Karakteristieke vergelijking vervolg)
De karakteristieke vergelijking kan ook worden toegepast op een iets ander
type differentiaalvergelijkingen:
\[\begin{align*}
p\dfrac{dy}{dx} + qy = 0
\end{align*}\]
In dit geval wordt de karakteristieke vergelijking:
\[\begin{align*}
p\lambda + q = 0
\end{align*}\]
Oplossen voor \(\lambda\) geeft de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking.
Voorbeeld 2: Karakteristieke vergelijking
\[\begin{align*}
2\dfrac{dy}{dx} + 5y = 0
\end{align*}\]
Als algemene oplossing voor de D.V. stel:
(121)\[\begin{align}
y = Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R}
\end{align}\]
Dus,
(122)\[\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} = \lambda Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R}
\end{align}\]
Invullen in de D.V. geeft:
(123)\[\begin{align}
2\lambda \cdot Ce^{\lambda x} + 5 \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\
(2\lambda +5 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0
\end{align}\]
De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\) en verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).
Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:
(124)\[\begin{align}
2\lambda +5 &= 0 \\
\lambda &= -\dfrac{5}{2}
\end{align}\]
De waarde voor \(\lambda =-\dfrac{5}{2}\) invullen in de algemene oplossing geeft;
(125)\[\begin{align}
y = Ce^{-\frac{5}{2}x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R}
\end{align}\]
Oefening 3
Bepaal de oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:
\[\begin{align*}
8\dfrac{dy}{dx} - 2y = 0
\end{align*}\]
\[\begin{align*}
8\dfrac{dy}{dx} - 2y = 0
\end{align*}\]
Als algemene oplossing voor de D.V. stel:
(126)\[\begin{align}
y = Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R}
\end{align}\]
Dus,
(127)\[\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} = \lambda Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R}
\end{align}\]
Invullen in de D.V. geeft:
(128)\[\begin{align}
8\lambda \cdot Ce^{\lambda x} - 2 \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\
(8\lambda -2 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0
\end{align}\]
De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\) en verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).
Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:
(129)\[\begin{align}
8\lambda -2 &= 0 \\
8\lambda &= 2 \\
\lambda &= \dfrac{2}{8} = \dfrac{1}{4}
\end{align}\]
De waarde voor \(\lambda =\dfrac{1}{4}\) invullen in de algemene oplossing geeft;
(130)\[\begin{align}
y = Ce^{\dfrac{1}{4}x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R}
\end{align}\]
Oefening 4
Bepaal de oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:
\[\begin{align*}
3\dfrac{dy}{dx} + 8y = 0
\end{align*}\]
\[\begin{align*}
3\dfrac{dy}{dx} + 8y = 0
\end{align*}\]
Als algemene oplossing voor de D.V. stel:
(131)\[\begin{align}
y = Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R}
\end{align}\]
Dus,
(132)\[\begin{align}
\dfrac{dy}{dx} = \lambda Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R}
\end{align}\]
Invullen in de D.V. geeft:
(133)\[\begin{align}
3\lambda \cdot Ce^{\lambda x} +8 \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\
(3\lambda +8 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0
\end{align}\]
De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\) en verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).
Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:
(134)\[\begin{align}
3\lambda +8 &= 0 \\
3\lambda &= -8 \\
\lambda &= -\dfrac{8}{3}
\end{align}\]
De waarde voor \(\lambda =-\dfrac{8}{3}\) invullen in de algemene oplossing geeft;
(135)\[\begin{align}
y = Ce^{-\dfrac{8}{3}x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R}
\end{align}\]
