6.1 Electrisch - systeem

6.1.1 RLC-Netwerk

Theorie

In het vorige hoofdstuk zijn differentiaalvergelijkingen opgesteld voor een RC-netwerk en een RL-netwerk. Beschouw nu een RLC-netwerk, dus een netwerk waarin een spanningsbron met bronspanning \(U(t)\), een weerstand \(R\), een spoel met zelfinductie \(L\) en een condensator met capaciteit \(C\) in serie zijn aangesloten. Doel is om de stroomsterkte als functie van de tijd, \(I(t)\), te bepalen.

Omdat er sprake is van een serieschakeling geldt:

\[\begin{align*} U(t) = U_S + U_R + U_C \end{align*}\]

\(U(t)\) is gegeven. Verder geldt:

\[\begin{align*} U_S &= L \cdot \dfrac{dI}{dt} \\ U_R &= R \cdot I(t) \\ U_C &= \dfrac{1}{C} \int I(t) dt \end{align*}\]

Dit geeft de volgende vergelijking:

\[\begin{align*} U(t) &= U_S + U_R + U_C \\ U(t) &= L \cdot \dfrac{dI}{dt} + R \cdot I(t) + \dfrac{1}{C} \int I(t) dt \end{align*}\]

Differentiëren van de vergelijking geeft de tweede orde differentiaalvergelijking die opgelost moet worden om een uitdrukking voor \(I(t)\) te vinden:

\[\begin{align*} \dfrac{dU}{dt} = L \dfrac{d^2I}{dt^2} + R \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{C}I \end{align*}\]

Voorbeeld 1: RLC-Netwerk

Bepaal de stroomsterkte \(I(t)\) in een RLC-netwerk als de volgende parameters zijn gegeven:

\(R = 50\)\(\Omega\), \(L=1\)H, $\(C =0.2\)F, \(U(t)=200\)V, \(I(0)=0.0\)A en \(I'(0)=2.0\)A

Voor een RLC-kring geldt:

(1002)\[\begin{align} U(t) &= U_L + U_r + U_c \\ &= L \cdot \dfrac{dI}{dt} + R \cdot I +\dfrac{1}{C} \int I dt \end{align}\]

Beide zijdes differenti”eren geeft de gevraagde DV.:

(1003)\[\begin{align} \dfrac{dU(t)}{dt} &= L \cdot \dfrac{d^2I}{dt^2} + R \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{C} \cdot I \end{align}\]

De gegevens invullen in de DV geeft:

(1004)\[\begin{align} \dfrac{dU(t)}{dt} &= 1 \cdot \dfrac{d^2I}{dt^2} + 50 \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{0.2} \cdot I\\ 0 &= 1 \cdot \dfrac{d^2I}{dt^2} + 50 \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{0.2} \cdot I\\ 0 &= \dfrac{d^2I}{dt^2} + 50 \cdot \dfrac{dI}{dt} + 5 \cdot I \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1005)\[\begin{align} \dfrac{d^2I}{dt^2} + 50\dfrac{dI}{dt} + 5I = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(1006)\[\begin{align} I = Ce^{\lambda t} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1007)\[\begin{align} \lambda^2 \cdot Ce^{\lambda t} +50\lambda \cdot Ce^{\lambda t} + 5\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \\ (\lambda^2 + 50\lambda +5 )\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,

(1008)\[\begin{align} \lambda^2 + 50\lambda +5 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(1009)\[\begin{align} D = (50)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 2500-20=2480 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(1010)\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{-50 \pm \sqrt{2480}}{2 \cdot 1}\\ \lambda_{1,2} &= \dfrac{-50 \pm 4\sqrt{155}}{2 \cdot 1}\\ \lambda_{1} &= -25 + 2\sqrt{155} \approx -0.10\\ \lambda_{2} &= -25 - 2\sqrt{155} \approx -49.90 \\ \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} I_h = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_1 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

(1011)\[\begin{align} I_h = C_1e^{-0.10x} + C_2e^{-49.90x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om \(C_1\) en \(C_2\) te bepalen. \(I(0) = 0\) en \(I'(0) = 2\)

Dus invullen geeft voor \(I(0) = 0\):

(1012)\[\begin{align} 0 &= C_1e^{-0.10 \cdot 0} + C_2e^{-49.90 \cdot 0} \\ 0 &= C_1e^{0} + C_2e^{0} \\ 0 &= C_1 \cdot 1 + C_2 \cdot 1 \\ 0 &= C_1 + C_2 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1013)\[\begin{align} C_1 &= -C_2 \end{align}\]

Dus invullen geeft voor \(I'(0) = 2\):

(1014)\[\begin{align} 2 &= -0.10C_1e^{-0.10 \cdot 0} -49.90C_2e^{-49.90 \cdot 0} \\ 2 &= -0.10C_1e^{0} -49.90C_2e^{0} \\ 2 &= -0.10C_1 \cdot 1 -49.90C_2 \cdot 1 \\ 2 &= -0.10C_1 -49.90C_2 \end{align}\]

\(C_1\) invullen geeft:

(1015)\[\begin{align} 2 &= -0.10 (-C_2) -49.90C_2 \\ 2 &= 0.10C_2 -49.90C_2 \\ 2 &= -49.80C_2 \\ C_2 &= -\dfrac{2}{-49.80} = -0.040 \end{align}\]

\(C_2\) invullen geeft:

(1016)\[\begin{align} C_1 &= -C_2 = 0.040 \end{align}\]

Dus \(C_1\) en \(C_2\) invullen in de oplossing geeft:

(1017)\[\begin{align} I_h &= 0.040e^{-0.10x} -0.040e^{-49.90x} \end{align}\]

6.1.2 LC-Netwerk

Theorie

Beschouw nu een LC-netwerk, dus een netwerk waarin een spanningsbron met bronspanning \(U(t)\), een spoel met zelfinductie \(L\) en een condensator met capaciteit \(C\) in serie zijn aangesloten. Doel is om de lading van de condensator, q(t)$ te bepalen.

Omdat er sprake is van een serieschakeling geldt:

\[\begin{align*} U(t) = U_L + U_C \end{align*}\]

\(U(t)\) is gegeven. Verder geldt:

\[\begin{align*} U_S &= L \cdot \dfrac{dI}{dt} \\ %U_R &= R \cdot I(t) \\ U_C &= \dfrac{1}{C} \int I(t) dt \end{align*}\]

Dit geeft de volgende vergelijking:

\[\begin{align*} U(t) &= U_L + U_C \\ U(t) &= L \cdot \dfrac{dI}{dt} + R \cdot I(t) + \dfrac{1}{C} \int I(t) dt \end{align*}\]

Voor de lading \(q(t)\) geldt;

\[\begin{align*} q(t) = \int I(t) dt \end{align*}\]

Dit invullen geeft een uitdrukking voor \(q(t)\).

\[\begin{align*} U(t) &= L \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{C} \int I(t) dt \\ U(t) &= L \cdot \dfrac{d^2q(t)}{dt^2} + \dfrac{1}{C} q(t) \end{align*}\]

\( \newcommand{\L}{2} \newcommand{\C}{0.1} \newcommand{\U}{200} \newcommand{\CC}{10} \newcommand{\LC}{3} \newcommand{\q}{5} \newcommand{\qnul}{0} \newcommand{\Leen}{-49.95} \newcommand{\Ltwee}{-0.05} \newcommand{\Ceen}{-0.007} \newcommand{\Ctwee}{0.239} \newcommand{\A}{-0.02} \newcommand{\B}{ -0.219} \)

Voorbeeld 2: LC-Netwerk

Bepaal de lading van de condensator, \(q(t)\) in een LC-netwerk als de volgende parameters zijn gegeven:

\(L= \L \)H, \(C = \C \)F, \(U(t)=200\)V, \(q(0)=0.0\)C en \(I(0)=1.0\)A

Voor een LC-kring geldt:

(1018)\[\begin{align} U(t) &= U_L + U_c \\ &= L \cdot \dfrac{dI}{dt} +\dfrac{1}{C} \int I dt \end{align}\]

Voor de lading \(q(t)\) geldt;

\[\begin{align*} q(t) = \int I(t) dt \end{align*}\]

Dit invullen geeft een uitdrukking voor \(q(t)\).

\[\begin{align*} U(t) &= L \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{C} \int I(t) dt \\ U(t) &= L \cdot \dfrac{d^2q(t)}{dt^2} + \dfrac{1}{C} q(t) \end{align*}\]

De gegevens invullen in de DV geeft:

(1019)\[\begin{align} \dfrac{dU(t)}{dt} &= L \cdot \dfrac{d^2q(t)}{dt^2} + \dfrac{1}{C} q(t)\\ 0 &= \L \cdot \dfrac{d^2q(t)}{dt^2} + \dfrac{1}{ \C } q(t)\\ 0 &= \L \cdot \dfrac{d^2q(t)}{dt^2} + \CC q(t) \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1020)\[\begin{align} \L \dfrac{d^2q}{dt^2} + \CC q = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(1021)\[\begin{align} q_h = Ce^{\lambda t} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1022)\[\begin{align} \L \lambda^2 \cdot Ce^{\lambda t} + \CC \cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \\ (\L \lambda^2 + \CC )\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,

(1023)\[\begin{align} \L \lambda^2 + \CC &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(1024)\[\begin{align} D = (0)^2 - 4 \cdot \L \cdot \CC = 0-80=-80 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(1025)\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{0 \pm \sqrt{-80}}{2 \cdot \L}\\ \lambda_{1,2} &= \dfrac{0 \pm 4\sqrt{5}}{2 \cdot \L }\\ \lambda_{1} &= -0 + \sqrt{5}i \approx 2.236i\\ \lambda_{2} &= -0 - \sqrt{5}i \approx -2.236i\\ \end{align}\]

Hieruit volgt dat \(p=0\) en \(q=\sqrt{ \q }\)

De waarde voor \(p\) en \(q\) invullen in de homogene oplossing geeft;

\[\begin{align*} q_h &= e^{px}(C_1\cos(qt) + C_2\sin(qt)) \\ q_h &= e^{0\cdot x}(C_1\cos(\sqrt{ \q }t) + C_2\sin (\sqrt{ \q }t ) ) \\ q_h &= C_1\cos(\sqrt{ \q }t) + C_2\sin (\sqrt{ \q }t ) \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align*}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om \(C_1\) en \(C_2\) te bepalen. \(q(0) = 0\) en \(I(0) = 1\)

Dus invullen geeft:

\[\begin{align*} q &= C_1\cos(\sqrt{ \q }t) + C_2\sin (\sqrt{ \q }t ) \\ \qnul &= C_1\cos(\sqrt{ \q } \cdot 0 ) + C_2\sin (\sqrt{ \q } \cdot 0) \\ \qnul &= C_1 \cdot 1 + 0 \end{align*}\]

Hieruit volgt:

\[\begin{align*} C_1 = \qnul \end{align*}\]

\(C_1 \) invullen geeft:

\[\begin{align*} q' &= -\sqrt{ \q } C_1\sin(\sqrt{ \q }t) + \sqrt{15} C_2\cos (\sqrt{ \q }t ) \\ 1 &= -\sqrt{ \q } C_1\sin(\sqrt{ \q } \cdot 0) + \sqrt{ \q } C_2\cos (\sqrt{ \q } \cdot 0 ) \\ 1 &= 0 + \sqrt{ \q } \cdot C_2 \cdot 1 \end{align*}\]

Hieruit volgt:

\[\begin{align*} C_2 &= \dfrac{1}{5}\sqrt{5} \end{align*}\]

Dus \(C_1\) en \(C_2\) invullen in de totale oplossing geeft:

\[\begin{align*} q &= C_1\cos(\sqrt{ \q }t) + C_2\sin (\sqrt{ \q }t ) \\ q &= \dfrac{1}{5}\sqrt{5} \sin(\sqrt{ \q }t) \end{align*}\]