Uitwerkingen

Uitwerkingen#

Opgave 1#

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= Ce^{-\cos(x)} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]
Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} = y\sin(x) \end{align*}\]

Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.

(1363)#\[\begin{align} \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx} &= \sin(x) \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(1364)#\[\begin{align} \int \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx} dx &= \int \sin(x) dx \end{align}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).

(1365)#\[\begin{align} \int \dfrac{1}{y} dy &= \int \sin(x) dx \end{align}\]

De primitieven nemen van beide kanten.

(1366)#\[\begin{align} \ln|y| + C_1 &= -\cos(x) + C_2\\ \ln|y| &= -\cos(x) + C_3\\ e^{\ln|y|} &= e^{-\cos(x) + C_3}\\ |y| &= e^{-\cos(x) + C_3}\\ |y| &= e^{-\cos(x)} \cdot e^{C_3}\\ y &= \pm e^{-\cos(x)} \cdot e^{C_3} \end{align}\]

\(y = 0\) voldoet aan de dv, dus

(1367)#\[\begin{align} y &= Ce^{-\cos(x)} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 2#

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= Ce^{3x} +\dfrac{2}{3}x + \dfrac{5}{9} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]
Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} - 3y = -2x -1 \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1368)#\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1369)#\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} - 3y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(1370)#\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1371)#\[\begin{align} \lambda \cdot Ce^{\lambda x} -3 \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\ (\lambda -3 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\). \ Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(1372)#\[\begin{align} \lambda -3 &= 0 \\ \lambda &= 3 \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda =3\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(1373)#\[\begin{align} y_h = Ce^{3x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.
Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(1374)#\[\begin{align} y_p = Ax + B \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1375)#\[\begin{align} (A) - 3 \cdot (Ax + B) &= -2x-1 \\ A - 3Ax -3B &= -2x-1 \\ (-3A)x + (A-3B) &= -2x-1 \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(1376)#\[\begin{align} -3A &= -2 \\ A-3B &= -1 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1377)#\[\begin{align} A = \dfrac{2}{3} \end{align}\]

\(A \) invullen geeft:

(1378)#\[\begin{align} \dfrac{2}{3} - 3B &= -1\\ -3B &= -\dfrac{5}{3}\\ B &= \dfrac{5}{9} \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) en invullen in de particuliere oplossing geeft:

(1379)#\[\begin{align} y_p = \dfrac{2}{3}x + \dfrac{5}{9} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1380)#\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= Ce^{3x} +\dfrac{2}{3}x + \dfrac{5}{9} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 3#

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y = Ce^{-\frac{7}{4}x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]
Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} 4\dfrac{dy}{dx} = -7y \\ 4\dfrac{dy}{dx} + 7y = 0 \end{align*}\]

Als algemene oplossing voor de D.V. stel:

(1381)#\[\begin{align} y = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1382)#\[\begin{align} 4 \lambda \cdot Ce^{\lambda x} +7 \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\ (4\lambda +7 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\). \ Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(1383)#\[\begin{align} 4\lambda +7 &= 0 \\ 4\lambda &= -7 \\ \lambda &= -\frac{7}{4} \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda =-\dfrac{7}{4}\) invullen in de algemene oplossing geeft;

(1384)#\[\begin{align} y = Ce^{-\frac{7}{4}x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 4#

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} x &= \sqrt[3]{\ln|x^3| + C} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]
Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} xy^2\dfrac{dy}{dx} = 1 \end{align*}\]

Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.

(1385)#\[\begin{align} y^2 \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{1}{x} \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(1386)#\[\begin{align} \int y^2 \dfrac{dy}{dx} dx &= \int \dfrac{1}{x}dx \end{align}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).

(1387)#\[\begin{align} \int y^2 dy &= \int \dfrac{1}{x}dx \end{align}\]

De primitieven nemen van beide kanten.

(1388)#\[\begin{align} \dfrac{1}{3}x^3 + C_1 &= \ln|x| + C_2\\ \dfrac{1}{3}x^3 &= \ln|x| + C_3\\ x^3 &= 3\ln|x| + C_3\\ x &= \sqrt[3]{3\ln|x| + C_3}\\ x &= \sqrt[3]{\ln|x^3| + C} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 5#

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= e^{-x}\left(C_1\cos\left(\sqrt{7}x\right) + C_2\sin \left( \sqrt{7}x \right)\right) + \sin(x) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]
Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx}+2\dfrac{dy}{dx} +8y = 2\cos(x) + 7\sin(x) \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1389)#\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1390)#\[\begin{align} \dfrac{d^2y}{dx^2}+2\dfrac{dy}{dx} +8y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(1391)#\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(1392)#\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1393)#\[\begin{align} (\lambda^2 Ce^{\lambda x}) +2(\lambda Ce^{\lambda x}) +8(Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (\lambda^2+ 2\lambda +8 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\). \ Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(1394)#\[\begin{align} \lambda^2 + 2\lambda +8 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(1395)#\[\begin{align} D = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 8 = 4-32=-28 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(1396)#\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{-2 \pm i\sqrt{28}}{2}\\ \lambda_{1,2} &= \dfrac{-2 \pm i2\sqrt{7}}{2}\\ \lambda_{1,2} &= -\dfrac{2}{2} \pm \sqrt{7}i \\ \lambda_{1,2} &= -1 \pm \sqrt{7}i \end{align}\]

Hieruit volgt dat \(p=-1\) en \(q=\sqrt{7}\)

De waarde voor \(p\) en \(q\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y_h = e^{px}(C_1\cos(qx) + C_2\sin(qx)) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]
(1397)#\[\begin{align} y_h = e^{-x}\left(C_1\cos\left(\sqrt{7}x\right) + C_2\sin \left( \sqrt{7}x \right)\right) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.
Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(1398)#\[\begin{align} y_p = A\sin(x) + B\cos(x) \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1399)#\[\begin{align} (-A\sin(x) - B\cos(x)) + 2 \cdot (A\cos(x) - B\sin(x)) + 8 \cdot (A\sin(x) + B\cos(x)) &= 2\cos(x) + 7\sin(x) \\ -A\sin(x) - B\cos(x) + 2A\cos(x) - 2B\sin(x) + 8A\sin(x) + 8B\cos(x) &= 2\cos(x) + 7\sin(x) \\ (2A -B+8B)\cos(x) + (-A - 2B+8A)\sin(x)&= 2\cos(x) + 7\sin(x)\\ (2A +7B)\cos(x) + (7A- 2B)\sin(x)&= 2\cos(x) + 7\sin(x)\\ \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(1400)#\[\begin{align} 2A +7B &= 2 \\ 7A- 2B &= 7 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1401)#\[\begin{align} 7B = 2- 2A \\ B = \dfrac{2}{7}- \dfrac{2}{7}A \end{align}\]

\(B \) invullen geeft:

(1402)#\[\begin{align} 7A - 2 \cdot (\dfrac{2}{7}- \dfrac{2}{7}A) &= 7\\ 7A - \dfrac{4}{7} + \dfrac{4}{7}A &= 7\\ \dfrac{53}{7}A &= \dfrac{53}{7}\\ A &= 1 \end{align}\]

\(A \) invullen geeft:

(1403)#\[\begin{align} B &= \dfrac{2}{7}- \dfrac{2}{7}A \\ B &= \dfrac{2}{7}- \dfrac{2}{7} \cdot 1 \\ B &= \dfrac{2}{7}- \dfrac{2}{7} \\ B &= 0 \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(1404)#\[\begin{align} y_p = \sin(x) \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1405)#\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= e^{-x}\left(A\cos\left(\sqrt{7}x\right) + B\sin \left( \sqrt{7}x \right)\right) + \sin(x) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 6#

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y = Ce^{\frac{5}{2}x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]
Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} 4\dfrac{dy}{dx} = 10y \\ 4\dfrac{dy}{dx} - 10y = 0 \end{align*}\]

Als algemene oplossing voor de D.V. stel:

(1406)#\[\begin{align} y = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1407)#\[\begin{align} 4 \lambda \cdot Ce^{\lambda x} -10 \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\ (4\lambda -10 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\). \ Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(1408)#\[\begin{align} 4\lambda -10 &= 0 \\ 4\lambda &= 10 \\ \lambda &= \frac{10}{4} = \frac{5}{2} \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda =\dfrac{2}{3}\) invullen in de algemene oplossing geeft;

(1409)#\[\begin{align} y = Ce^{\frac{5}{2}x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 7#

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= Ce^{-\frac{3}{2}x} + 2 \sin(x) + \cos(x)\qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]
Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} 2\dfrac{dy}{dx} +3y &= 4\sin(x) + 7\cos(x) \\ \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1410)#\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1411)#\[\begin{align} 2\dfrac{dy}{dx} - y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(1412)#\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1413)#\[\begin{align} 2\lambda \cdot Ce^{\lambda x} +3 \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\ (2\lambda +3 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\). \ Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(1414)#\[\begin{align} 2\lambda +3 &= 0 \\ 2\lambda &= -3 \\ \lambda &= -\dfrac{3}{2} \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda =-\dfrac{3}{2}\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(1415)#\[\begin{align} y_h = Ce^{-\frac{3}{2}x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.
Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(1416)#\[\begin{align} y_p = A\sin(x) + B\cos(x) \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1417)#\[\begin{align} 2 \cdot (A\cos(x) - B\sin(x)) +3 (A\sin(x) + B\cos(x)) &= 4\sin(x) + 7\cos(x) \\ 2A\cos(x) - 2B\sin(x) +3A\sin(x) + 3B\cos(x) &= 4\sin(x) + 7\cos(x) \\ (3A-2B)\sin(x) + (2A+3B)\cos(x) &= 4\sin(x) + 7\cos(x) \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(1418)#\[\begin{align} 3A-2B &= 4 \\ 2A+3B &= 7 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1419)#\[\begin{align} 3B = 7- 2A \\ B = \dfrac{7}{3}- \dfrac{2}{3}A \end{align}\]

\(B \) invullen geeft:

(1420)#\[\begin{align} 3A - 2 \cdot (\dfrac{7}{3}- \dfrac{2}{3}A) &= 4\\ 3A - \dfrac{14}{3} + \dfrac{4}{3}A &= 4\\ \dfrac{13}{3}A &= \dfrac{26}{3}\\ A &= \dfrac{13}{26} =2 \end{align}\]

\(A \) invullen geeft:

(1421)#\[\begin{align} B &= \dfrac{7}{3}- \dfrac{2}{3}A \\ B &= \dfrac{7}{3}- \dfrac{2}{3} \cdot 2 \\ B &= \dfrac{7}{3}- \dfrac{4}{3} \\ B &= 1 \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(1422)#\[\begin{align} y_p = 2 \sin(x) + \cos(x) \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1423)#\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= Ce^{-\frac{3}{2}x} + 2 \sin(x) + \cos(x)\qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 8#

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= e^{x}\left(C_1\cos\left(3x\right) + C_2\sin \left( 3x \right)\right) + 3x - 2 \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]
Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx}-2\dfrac{dy}{dx} +10y = 30x - 26 \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1424)#\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1425)#\[\begin{align} \dfrac{d^2y}{dx^2}-2\dfrac{dy}{dx} +10y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(1426)#\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(1427)#\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1428)#\[\begin{align} (\lambda^2 Ce^{\lambda x}) -2(\lambda Ce^{\lambda x}) +10(Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (\lambda^2- 2\lambda +10 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\). \ Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(1429)#\[\begin{align} \lambda^2 - 2\lambda +10 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(1430)#\[\begin{align} D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 10 = 4-40=-36 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(1431)#\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{2 \pm i\sqrt{36}}{2}\\ \lambda_{1,2} &= \dfrac{2}{2} \pm \dfrac{\sqrt{36}}{2}i \\ \lambda_{1,2} &= 1 \pm 3i \end{align}\]

Hieruit volgt dat \(p=1\) en \(q=3\)

De waarde voor \(p\) en \(q\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y_h = e^{px}(C_1\cos(qx) + C_2\sin(qx)) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]
(1432)#\[\begin{align} y_h = e^{x}\left(C_1\cos\left(3x\right) + C_2\sin \left( 3x \right)\right) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.
Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(1433)#\[\begin{align} y_p = Ax + B \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1434)#\[\begin{align} 0 - 2\cdot (A) + 10 \cdot (Ax + B) &= 30x-26 \\ -2A + 10Ax + 10B &= 30x-26 \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(1435)#\[\begin{align} 10A &= 30 \\ -2A+10B &= -26 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1436)#\[\begin{align} A = 3 \end{align}\]

\(A \) invullen geeft:

(1437)#\[\begin{align} -2 \cdot 3 + 10B &= -26\\ 10B &= -20\\ B &= -2 \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(1438)#\[\begin{align} y_p = 3x - 2 \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1439)#\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= e^{x}\left(C_1\cos\left(3x\right) + C_2\sin \left( 3x \right)\right) + 3x - 2 \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 9#

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= (C -x)e^{\frac{3}{4}x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]
Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} -4\dfrac{dy}{dx} +3y &= 4e^{\frac{3}{4}x} \\ \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1440)#\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1441)#\[\begin{align} -4\dfrac{dy}{dx} + 3y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(1442)#\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1443)#\[\begin{align} -4\lambda \cdot Ce^{\lambda x} +3 \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\ (-4\lambda +3 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\). \ Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(1444)#\[\begin{align} -4\lambda + 3 &= 0 \\ -4\lambda &= -3 \\ \lambda &= \dfrac{3}{4} \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda =\dfrac{3}{4}\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(1445)#\[\begin{align} y_h = Ce^{\frac{3}{4}x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(1446)#\[\begin{align} y_p = Axe^{\frac{3}{4}x} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1447)#\[\begin{align} -4(Ax\dfrac{3}{4}e^{\frac{3}{4}x} + Ae^{\frac{3}{4}x} ) + 3 \cdot (Axe^{\frac{3}{4}x} ) &= 4e^{\frac{3}{4}x} \\ -3Axe^{\frac{3}{4}x} -4Ae^{\frac{3}{4}x} ) + 3Axe^{\frac{3}{4}x} &= 4e^{\frac{3}{4}x} \\ -4Ae^{\frac{3}{4}x} &= 4e^{\frac{3}{4}x} \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(1448)#\[\begin{align} -4A &= 4 \\ A &= -1 \end{align}\]

De waardes voor \(A\), invullen in de particuliere oplossing geeft:

(1449)#\[\begin{align} y_p = -xe^{\frac{3}{4}x} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1450)#\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= Ce^{\frac{3}{4}x} -xe^{\frac{3}{4}x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \\ y &= (C -x)e^{\frac{3}{4}x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 10#

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= (C_1 + C_2x)e^{-3 x} + 4e^{-2x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]
Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} 4\dfrac{d^2y}{dx^2}+24\dfrac{dy}{dx} +36y = 16e^{-2x} \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1451)#\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1452)#\[\begin{align} 4\dfrac{d^2y}{dx^2}+24\dfrac{dy}{dx}+36y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(1453)#\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(1454)#\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1455)#\[\begin{align} 4(\lambda^2 Ce^{\lambda x})+24(\lambda Ce^{\lambda x}) +36(Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (4\lambda^2+24\lambda+36 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\). \ Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(1456)#\[\begin{align} 4\lambda^2 +24\lambda +36 &= 0\\ \lambda^2 +6\lambda +9 &= 0 \end{align}\]

De D is groter dan 0 dus,

(1457)#\[\begin{align} (\lambda -3)(\lambda -3) &= 0 \end{align}\]

dus \(\lambda_1 = -3\) en \(\lambda_2 = -3\)

De waarde voor \(\lambda_1\) en \(\lambda_2\) invullen in de algemene oplossing, omdat \(\lambda_1 = \lambda_2\) gelijk zijn wordt de algemene oplossing;

\[\begin{align*} y_h = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2xe^{\lambda_2 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]
(1458)#\[\begin{align} y_h = C_1e^{-3 x} + C_2xe^{-3 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.
Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(1459)#\[\begin{align} y_p = Ae^{-2x} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1460)#\[\begin{align} 4 \cdot (4Ae^{-2x}) + 24 \cdot (-2Ae^{-2x}) + 36 \cdot (Ae^{-2x}) &= 16e^{-2x} \\ 16Ae^{-2x} - 48Ae^{-2x} + 36Ae^{-2x} &= 16e^{-2x} \\ 4Ae^{-2x} &= 16e^{-2x} \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(1461)#\[\begin{align} 4A &= 16 \\ A &= 4 \end{align}\]

De waardes voor \(A\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(1462)#\[\begin{align} y_p = 4e^{-2x} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1463)#\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= C_1e^{-3 x} + C_2xe^{-3 x} + 4e^{-2x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \\ y &= (C_1 + C_2x)e^{-3 x} + 4e^{-2x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]
Contents