1.4 Opgaven

Opgave 1.1a

Geef van de volgende differentiaalvergelijking aan of dit een lineaire differentiaalvergelijking is of niet. Geef als het een lineaire differentiaalvergelijking betreft ook aan of deze homogeen of inhomogeen is. Toon vervolgens aan dat de gegeven oplossing voldoet aan de differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} - 2y &= e^{3x} \qquad \text{geeft} \qquad y(x)= e^{3x} + Ce^{2x} \end{align*}\]

Opgave 1.1b

Geef van de volgende differentiaalvergelijking aan of dit een lineaire differentiaalvergelijking is of niet. Geef als het een lineaire differentiaalvergelijking betreft ook aan of deze homogeen of inhomogeen is. Toon vervolgens aan dat de gegeven oplossing voldoet aan de differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{1}{t}\dfrac{dx}{dt} + 2x &= 1 \qquad \text{geeft} \qquad x(t)= \dfrac{1}{2} + Ce^{-t^2} \end{align*}\]

Opgave 1.1c

Geef van de volgende differentiaalvergelijking aan of dit een lineaire differentiaalvergelijking is of niet. Geef als het een lineaire differentiaalvergelijking betreft ook aan of deze homogeen of inhomogeen is. Toon vervolgens aan dat de gegeven oplossing voldoet aan de differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dt^2} + \dfrac{dy}{dt} - 2y &= 4t \qquad \text{geeft} \qquad y(x)= -2t - 1 + C_1e^{t} + C_2e^{-2t} \end{align*}\]

Opgave 1.1d

Geef van de volgende differentiaalvergelijking aan of dit een lineaire differentiaalvergelijking is of niet. Geef als het een lineaire differentiaalvergelijking betreft ook aan of deze homogeen of inhomogeen is. Toon vervolgens aan dat de gegeven oplossing voldoet aan de differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} + y^2\sin(x) &= 0 \qquad \text{geeft} \qquad y(x)= \dfrac{1}{1-\cos(x)} \end{align*}\]

Opgave 1.2a

Bepaal door integratie de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} &= -3x^2 \end{align*}\]

Opgave 1.2b

Bepaal door integratie de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} &= - \cos(2x) \end{align*}\]

Opgave 1.2c

Bepaal door integratie de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{1}{x}\dfrac{dy}{dx} = e^x \end{align*}\]

Opgave 1.2d

Bepaal door integratie de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{d^3y}{dx^3} &= 0 \end{align*}\]