5.7 Uitwerkingen les 6

5.7 Uitwerkingen les 6#

Opgave 1#

Antwoord

De kop thee een temperatuur van 35\(^{\circ}\) C bereikt na \(25.29\) minuten.

Uitwerking

Na hoeveel minuten heeft een kop thee een temperatuur bereikt van 35\(^{\circ}\) C als de volgende parameters zijn gegeven:

Een kop thee met een temperatuur van 90\(^{\circ}\) C wordt op een tafel in een ruimte gelegd waar de temperatuur 25\(^{\circ}\) C is. Na 5 minuten is de thee afgekoelt tot een temperatuur van 70\(^{\circ}\) C.

Voor de afkoelingswet geldt:

(1246)#\[\begin{align} \dfrac{dT}{dt} = -k(T-T_0) \end{align}\]

Dit kan omgeschreven worden naar de volgende DV;

(1247)#\[\begin{align} \dfrac{dT}{dt} &= -k(T-T_0) \\ \dfrac{dT}{dt} + kT &= kT_0 \\ \dfrac{dT}{dt} + kT &= 25k \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1248)#\[\begin{align} \dfrac{dT}{dt} + kT = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(1249)#\[\begin{align} T_h = Ce^{\lambda t} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1250)#\[\begin{align} \lambda \cdot Ce^{\lambda t} + k\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \\ (\lambda +k )\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,

(1251)#\[\begin{align} \lambda +k &= 0 \\ \lambda &= -k \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(1252)#\[\begin{align} T_h = Ce^{-kt} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.

Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(1253)#\[\begin{align} T_p &= A \\ T_p' &= 0 \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1254)#\[\begin{align} 1 \cdot ( 0 ) + k ( A ) &= 25k \\ \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(1255)#\[\begin{align} kA &= 25k \\ A &= 25 \end{align}\]

De waarde voor \(A\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(1256)#\[\begin{align} T_p = 25 \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1257)#\[\begin{align} T &= T_h + T_p \\ T &= Ce^{-kt} + 25 \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om C te bepalen. \(T(0) = 98\)

Dus invullen geeft:

(1258)#\[\begin{align} 90 &= Ce^{-k \cdot 0 } + 25 \\ 90 &= C \cdot 1 + 25 \\ C &= 65 \end{align}\]

Dus C invullen in de totale oplossing geeft:

(1259)#\[\begin{align} T &= 65e^{-kt} + 25 \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om k te bepalen. \(T(5) = 38\) Dus invullen geeft:

(1260)#\[\begin{align} 70 &= 65e^{-5k} + 25 \\ 45 &= 65e^{-5k} \\ \dfrac{45}{65} &= e^{-5k} \\ \ln(\dfrac{9}{13} ) &= -5k \\ k &= -\dfrac{1}{5} \cdot \ln(\dfrac{9}{13}) \\ k &= 0.074 \end{align}\]

Dus k invullen in de totale oplossing geeft:

(1261)#\[\begin{align} T &= 65e^{-0.074t} + 25 \end{align}\]

Na hoeveel minuten is de temperatuur 35\(^{\circ}\) C:

(1262)#\[\begin{align} 35 &= 65e^{-0.277t} + 25 \\ 10 &= 65e^{-0.074k} \\ \dfrac{10}{65} &= e^{-0.074t} \\ \ln(\dfrac{2}{13} ) &= -0.074t \\ t &= -\dfrac{1}{0.074} \cdot \ln(\dfrac{2}{13}) \\ t &\approx 25.29 \text{ minuten} \end{align}\]

Opgave 2#

Antwoord

De stroomsterkte \(I(t)\) in een RC-netwerk is:

\[\begin{align*} I &= -2.01e^{-\frac{1}{20}t} -\dfrac{200}{997.5}\sin(t) + \dfrac{400}{997.5}\cos(t) \end{align*}\]
Uitwerking

Bepaal de stroomsterkte \(I(t)\) in een RC-netwerk als de volgende parameters zijn gegeven:

\(R = 50\)\(\Omega\), \(C =0.4\)F, \(U(t)=200\cos(t)\)V en \(I(0)=2.0\)A

Voor een RC-kring geldt:

(1263)#\[\begin{align} U(t) &= U_r + U_c \\ &= R \cdot I + \dfrac{1}{C} \int I dt \end{align}\]

Beide zijdes differentiëren geeft de gevraagde DV.:

(1264)#\[\begin{align} \dfrac{dU(t)}{dt} &= R \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{C} \cdot I \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De gegevens invullen in de DV geeft:

(1265)#\[\begin{align} \dfrac{dU(t)}{dt} &= 50 \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{0.4} \cdot I\\ \dfrac{d}{dt}(200 \cos(t)) &= 50 \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{0.4} \cdot I \\ -200 \sin(t) &= 50 \cdot \dfrac{dI}{dt} + 2.5 \cdot I \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1266)#\[\begin{align} 50\dfrac{dI}{dt} + 2.5I = 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(1267)#\[\begin{align} I_h = Ce^{\lambda t} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1268)#\[\begin{align} 50\lambda \cdot Ce^{\lambda t} + 2.5\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \\ (50\lambda +2.5 )\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,

(1269)#\[\begin{align} 50\lambda + 2.5 &= 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}}\\ 50\lambda &= -2.5 \\ \lambda &= -\dfrac{2.5}{50} = -\dfrac{1}{20} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(1270)#\[\begin{align} I_h = Ce^{-\frac{1}{20}t} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.

Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(1271)#\[\begin{align} I_p &= A \sin(t) + B \cos(t) \qquad {\color{blue} \text{(1p)}}\\ I_p' &= A \cos(t) - B \sin(t) \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1272)#\[\begin{align} 50 \cdot (A \cos(t) - B \sin(t)) + 2.5 (A \sin(t) + B \cos(t)) &= 100\cos(t) \\ (50A+2.5B)\cos(t) + (2.5A -50B)\sin(t) &= -200\sin(t) \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(1273)#\[\begin{align} 2.5A-50B &= -200 \\ 50A+2.5B &= 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1274)#\[\begin{align} 2.5B &= -50A \\ B &= -20A \end{align}\]

\(B \) invullen geeft:

(1275)#\[\begin{align} 2.5A - 50 \cdot (-20A) &= -200\\ 997.5A &= -200\\ A &= -\dfrac{200}{997.5} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

\(A \) invullen geeft:

(1276)#\[\begin{align} B &= -20A \\ B &= 20 \cdot \dfrac{200}{997.5} \\ B &= \dfrac{4000}{997.5} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(1277)#\[\begin{align} I_p = -\dfrac{200}{997.5}\sin(t) + \dfrac{4000}{997.5}\cos(t) \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1278)#\[\begin{align} I &= I_h + I_p \\ I &= Ce^{-\frac{1}{20}t} -\dfrac{200}{997.5}\sin(t) + \dfrac{4000}{997.5}\cos(t) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om C te bepalen. \(I(0) = 2\)

Dus invullen geeft:

(1279)#\[\begin{align} 2 &= Ce^{-\frac{1}{20} \cdot 0} -\dfrac{200}{997.5}\sin(0) + \dfrac{4000}{997.5}\cos(0) \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \\ 2 &= C \cdot 1 -\dfrac{200}{997.5} \cdot 0 + \dfrac{4000}{997.5} \cdot 1 \\ \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1280)#\[\begin{align} C &= 2 - \dfrac{4000}{997.5} \\ C &= -2.01 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Dus C invullen in de totale oplossing geeft:

(1281)#\[\begin{align} I &= -2.01e^{-\frac{1}{20}t} -\dfrac{200}{997.5}\sin(t) + \dfrac{400}{997.5}\cos(t) \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Opgave 3#

Antwoord

De stroomsterkte \(I(t)\) in een RL-netwerk is:

\[\begin{align*} I &= - 2e^{-\dfrac{20}{3}t} + 2 \end{align*}\]
Uitwerking

Bepaal de stroomsterkte \(I(t)\) in een RL-netwerk als de volgende parameters zijn gegeven:

\(R = 100\)\(\Omega\), \(L =15\)H, \(U(t)=200\)V en \(I(0)=0.0\)A

Voor een RL-kring geldt:

(1282)#\[\begin{align} U(t) &= U_L + U_c \\ &= L \cdot \dfrac{dI}{dt} + R \cdot I \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De gegevens invullen in de DV geeft:

(1283)#\[\begin{align} U(t) &= 15 \cdot \dfrac{dI}{dt} + 100 \cdot I\\ 200 &= 15 \cdot \dfrac{dI}{dt} + 100 \cdot I \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1284)#\[\begin{align} 15\dfrac{dI}{dt} + 100I = 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(1285)#\[\begin{align} I = Ce^{\lambda t} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1286)#\[\begin{align} 15\lambda \cdot Ce^{\lambda t} + 100\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \\ (15\lambda +100 )\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,

(1287)#\[\begin{align} 15\lambda + 100 &= 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}}\\ 15\lambda &= -100 \\ \lambda &= -\dfrac{100}{15} = -\dfrac{20}{3} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(1288)#\[\begin{align} I_h = Ce^{-\dfrac{20}{3}t} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.

Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(1289)#\[\begin{align} I_p &= A \qquad {\color{blue} \text{(1p)}}\\ I_p' &= 0 \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1290)#\[\begin{align} 15 \cdot ( 0 ) + 100 ( A ) &= 200 \\ \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(1291)#\[\begin{align} 100A &= 200 \\ A &= \dfrac{200}{100} = 2 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waarde voor \(A\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(1292)#\[\begin{align} I_p = 2 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1293)#\[\begin{align} I &= I_h + I_p \\ I &= Ce^{-\dfrac{20}{3}t} + 2 \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om C te bepalen. \(I(0) = 0\)

Dus invullen geeft:

(1294)#\[\begin{align} 0 &= Ce^{-\dfrac{20}{3}t} + 2 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}}\\ 0 &= C \cdot 1 + 2 \\ C &= - 2 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Dus C invullen in de totale oplossing geeft:

(1295)#\[\begin{align} I &= - 2e^{-\dfrac{20}{3}t} + 2 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Opgave 4#

Antwoord

Bepaal de uiteindelijke valsnelheid van het voorwerp is \(42.04\) m/s

Uitwerking

Bepaal de uiteindelijke valsnelheid van een voorwerp als deze vanaf een hoogte van 3000m naar beneden valt, als de volgende parameters zijn gegeven:

Het voorwerp met een massa van \(m = 150 kg\) valt met een beginsnelheid van \(0 m/s\). Neem aan dat de luchtweerstand \(F_w\) evenredig is met de valsnelheid. De evenredigheidsconstante \(k=35 Ns/m\). Neem voor de gravitatieconstante \(g=9.81\) \(m/s^2\)

Volgens de tweede wet van Newton geldt:

(1296)#\[\begin{align} F_{res} &= F_z - F_w\\ m \cdot a &= m \cdot g - k \cdot v\\ a &= g - \dfrac{k}{m} \cdot v \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Dit kan omgeschreven worden naar de volgende DV;

(1297)#\[\begin{align} \dfrac{dV}{dt} &= g - \dfrac{k}{m} \cdot v \\ \dfrac{dV}{dt} + \dfrac{k}{m} \cdot v &= g \\ \dfrac{dV}{dt} + \dfrac{35}{150} \cdot v &= 9.81 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1298)#\[\begin{align} \dfrac{dV}{dt} + \dfrac{7}{30} \cdot v &= 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(1299)#\[\begin{align} V_h = Ce^{\lambda t} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1300)#\[\begin{align} \lambda \cdot Ce^{\lambda t} + \dfrac{7}{30}\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \\ (\lambda +\dfrac{7}{30} )\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,

(1301)#\[\begin{align} \lambda + \dfrac{7}{30} &= 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}}\\ \lambda &= -\dfrac{7}{30} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(1302)#\[\begin{align} V_h = Ce^{-\dfrac{7}{30}t} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.

Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(1303)#\[\begin{align} V_p &= A \qquad {\color{blue} \text{(1p)}}\\ V_p' &= 0 \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1304)#\[\begin{align} 1 \cdot ( 0 ) + \dfrac{7}{30} ( A ) &= 9.81 \\ \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(1305)#\[\begin{align} \dfrac{7}{30}A &= 9.81 \\ A &= 9.81 \cdot \dfrac{30}{7} \\ A &= 42.04 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waarde voor \(A\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(1306)#\[\begin{align} V_p = 42.04 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1307)#\[\begin{align} V &= V_h + V_p \\ V &= Ce^{-\dfrac{7}{30}t} + 42.04 \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om C te bepalen. \(V(0) = 0\)

Dus invullen geeft:

(1308)#\[\begin{align} 0 &= Ce^{-\dfrac{7}{30} \cdot 0} + 42.04 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}}\\ 0 &= C \cdot 1 + 42.04 \\ C &= 0 - 42.04 \\ C &= -42.04 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Dus C invullen in de totale oplossing geeft:

(1309)#\[\begin{align} V &= -42.04e^{-\dfrac{7}{30}t} + 42.04 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

dus 42.04 m/s

Opgave 5#

Antwoord

De temperatuur van een warm bad na 15 minuten is \(26.27^{\circ}\) C.

Uitwerking

Wat is de temperatuur van een warm bad na 15 minuten als de volgende parameters zijn gegeven:

Een bad met een temperatuur van 65\(^{\circ}\) C staat in een ruimte gelegd waar de temperatuur 19\(^{\circ}\) C is. Na 2 minuten is het bad afgekoelt tot een temperatuur van 55\(^{\circ}\) C.

Voor de afkoelingswet geldt:

(1310)#\[\begin{align} \dfrac{dT}{dt} = -k(T-T_0) \end{align}\]

Dit kan omgeschreven worden naar de volgende DV;

(1311)#\[\begin{align} \dfrac{dT}{dt} &= -k(T-T_0) \\ \dfrac{dT}{dt} + kT &= kT_0 \\ \dfrac{dT}{dt} + kT &= 19k \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1312)#\[\begin{align} \dfrac{dT}{dt} + kT = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(1313)#\[\begin{align} T_h = Ce^{\lambda t} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1314)#\[\begin{align} \lambda \cdot Ce^{\lambda t} + k\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \\ (\lambda +k )\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,

(1315)#\[\begin{align} \lambda +k &= 0 \\ \lambda &= -k \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(1316)#\[\begin{align} T_h = Ce^{-kt} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.

Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(1317)#\[\begin{align} T_p &= A \\ T_p' &= 0 \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1318)#\[\begin{align} 1 \cdot ( 0 ) + k ( A ) &= 19k \\ \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(1319)#\[\begin{align} kA &= 19k \\ A &= 19 \end{align}\]

De waarde voor \(A\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(1320)#\[\begin{align} T_p = 19 \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1321)#\[\begin{align} T &= T_h + T_p \\ T &= Ce^{-kt} + 19 \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om C te bepalen. \(T(0) = 65\)

Dus invullen geeft:

(1322)#\[\begin{align} 65 &= Ce^{-k \cdot 0 } + 19 \\ 65 &= C \cdot 1 + 19 \\ C &= 46 \end{align}\]

Dus C invullen in de totale oplossing geeft:

(1323)#\[\begin{align} T &= 46e^{-kt} + 19 \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om k te bepalen. \(T(2) = 55\) Dus invullen geeft:

(1324)#\[\begin{align} 55 &= 46e^{-2k} + 19 \\ 36 &= 46e^{-2k} \\ \dfrac{36}{46} &= e^{-2k} \\ \ln(\dfrac{9}{13} ) &= -2k \\ k &= -\dfrac{1}{2} \cdot \ln(\dfrac{36}{46}) \\ k &= 0.123 \end{align}\]

Dus k invullen in de totale oplossing geeft:

(1325)#\[\begin{align} T &= 46e^{-0.123t} + 19 \end{align}\]

Wat is de temperatuur na 15 minuten:

(1326)#\[\begin{align} T &= 46e^{-0.123 \cdot 15} + 19 \\ T &= 26.27^{\circ} \text[C] \end{align}\]

Opgave 6#

Antwoord

De stroomsterkte \(I(t)\) in een RC-netwerk is:

\[\begin{align*} I &= 2e^{-\frac{1}{10}t} \end{align*}\]
Uitwerking

Bepaal de stroomsterkte \(I(t)\) in een RC-netwerk als de volgende parameters zijn gegeven:

\(R = 100\)\(\Omega\), \(C =0.1\)F, \(U(t)=100\)V en \(I(0)=1.0\)A

Voor een RC-kring geldt:

(1327)#\[\begin{align} U(t) &= U_R + U_C \\ &= R \cdot I + \dfrac{1}{C} \int I dt \end{align}\]

Beide zijdes differentiëren geeft de gevraagde DV.:

(1328)#\[\begin{align} \dfrac{dU(t)}{dt} &= R \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{C} \cdot I \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De gegevens invullen in de DV geeft:

(1329)#\[\begin{align} \dfrac{dU(t)}{dt} &= 100 \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{0.1} \cdot I\\ \dfrac{d}{dt}(100 ) &= 100 \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{0.1} \cdot I \\ 0 &= 100 \cdot \dfrac{dI}{dt} + 10 \cdot I \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1330)#\[\begin{align} 100\dfrac{dI}{dt} + 10I = 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(1331)#\[\begin{align} I_h = Ce^{\lambda t} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1332)#\[\begin{align} 100\lambda \cdot Ce^{\lambda t} + 10\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \\ (100\lambda +10 )\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,

(1333)#\[\begin{align} 100\lambda + 10 &= 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}}\\ 100\lambda &= -10 \\ \lambda &= -\dfrac{10}{100} = -\dfrac{1}{21} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(1334)#\[\begin{align} I_h = Ce^{-\frac{1}{10}t} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om C te bepalen. \(I(0) = 1\)

Dus invullen geeft:

(1335)#\[\begin{align} 1 &= Ce^{-\frac{1}{10} \cdot 0} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \\ 2 &= C \cdot 1 \\ \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1336)#\[\begin{align} C &= 2 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Dus C invullen in de totale oplossing geeft:

(1337)#\[\begin{align} I &= 2e^{-\frac{1}{10}t} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]
Contents