2.2 Methode

2.2 Methode#

Theorie

De vergelijking kan vervolgens worden opgelost door beide zijden te integreren en indien nodig de vergelijking te herschrijven zodat een expliciete uitdrukking voor \(y\) volgt.

Voorbeeld 1: Scheiden van variabelen

Los de volgende differentiaalvergelijking op:

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} = 2xy \end{align*}\]

Deze vergelijking heeft de vorm \(\dfrac{dy}{dx} = p(x)q(y)\) dus kan opgelost worden met scheiden van variabelen.

(43)#\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} = 2xy \end{align}\]

Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.

(44)#\[\begin{align} \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx} &= 2x \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(45)#\[\begin{align} \int \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx} dx &= \int 2x dx \end{align}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).

(46)#\[\begin{align} \int \dfrac{1}{y} dy &= \int 2x dx \end{align}\]

De primitieven nemen van beide kanten.

(47)#\[\begin{align} \ln|y| + C_1 &= x^2 + C_2\\ \ln|y| &= x^2 + C_3\\ \end{align}\]

Uit het integreren volgt geen directe formulering voor \(y\) als functie van \(x\). De laatste uitdrukking zal dus nog herschreven moeten worden:

(48)#\[\begin{align} e^{\ln|y|} &= x^2 + C_3\\ |y| &= x^2 + C_3\\ |y| &= e^{x^2 + C_3}\\ |y| &= e^{C_3} e^{x^2} \\ y &= \pm e^{C_3} e^{x^2} \end{align}\]

Duidelijk is dat \(\pm e^{C_3}\) alle waarden kan aannemen behalve \(0\). Ga na dat \(y = 0\) ook een oplossing is van de differentiaalvergelijking.

\(y = 0\) voldoet aan de dv, dus

(49)#\[\begin{align} y &= Ce^{x^2} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Voorbeeld 2: Scheiden van variabelen

Los het volgende beginvoorwaardeprobleem op:

\[\begin{align*} e^{y+2x}\dfrac{dy}{dx} = e^x \qquad y(0)=0 \end{align*}\]

Deze differentiaalvergelijking kan opgelost worden met scheiden van variabelen:

Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.

(50)#\[\begin{align} e^{y}e^{2x}\dfrac{dy}{dx} &= e^x \\ e^{y}\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{e^x}{e^{2x}} \\ e^{y}\dfrac{dy}{dx} &= e^{-x} \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(51)#\[\begin{align} \int e^{y}\dfrac{dy}{dx} dx &= \int e^{-x} dx \end{align}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).

(52)#\[\begin{align} \int e^{y} dy &= \int e^{-x} dx \end{align}\]

De primitieven nemen van beide kanten.

(53)#\[\begin{align} e^{y} + C_1 &= -e^{-x} + C_2\\ e^{y} &= -e^{-x} + C_3\\ \ln(e^{y}) &= \ln(-e^{-x} + C_3) \\ y &= \ln(-e^{-x} + C) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

De beginvoorwaarde gebruiken voor het vinden van de constante C.

Er geldt \(y(0)=0\) dus,

(54)#\[\begin{align} 0 &= \ln(-e^{0} + C)\\ 0 &= \ln(-1 + C)\\ e^0 &= e^{\ln(-1 + C)}\\ 1 &= -1 + C\\ C &= 2 \end{align}\]

De constante invullen in de gevonden algemene oplossing geeft;

(55)#\[\begin{align} y &= \ln(-e^{-x} + 2) \end{align}\]

Oefening 1

Los de volgende differentiaalvergelijking op:

\[\begin{align*} e^x \dfrac{dy}{dx} = {e^y} \end{align*}\]

Oefening 2

Toon van de volgende differentiaalvergelijking aan of deze opgelost kan worden met scheiden van variabelen.

\[\begin{align*} 3 \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{\sin(2x)}{y^2} \end{align*}\]