7.2 Euler voorwaarts

7.2 Euler voorwaarts#

De algemene vorm van een eerst orde differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} &= f(x,y(x)) \end{align*}\]

In afgelopen hoofdstukken is aan de orde gekomen hoe je een aantal specifieke typen vergelijkingen analytisch kan oplossen. In combinatie met een aanvullende voorwaarde kan een unieke oplossing bepaald worden. Euler voorwaarts biedt de mogelijkheid om een oplossing voor een willekeurige differentiaalvergelijking van deze vorm met aanvullende beginvoorwaarde te benaderen.

De functie \(y(x)\) kan formeel gezien als volgt bepaald worden:

\[\begin{align*} y(x) = y(x_0) + \int_{x_{0}}^{x} y'(t) dt = y(x_0) + \int_{x_{0}}^{x} f(t,y(t)) dt \end{align*}\]

Deze integraal is over het algemeen niet analytisch te bepalen. Een methode om deze integraal te benaderen is om de waarde van de integraal te benaderen met de waarde van \(f(t,y(t))\) aan het begin van het interval keer de breedte van het interval. Dit geeft de volgende benadering:

\[\begin{align*} y(x) \approx y(x_0) + (x−x_0)f(x_0,y(x_0)) \end{align*}\]

Logisch is dat deze benadering voor \(x\) ver van \(x_0\) niet betrouwbaar zal zijn. Daarom wordt gekozen om voor de benadering op een interval dit interval in kleine stappen met grootte \(h\) te verdelen en vervolgens deze formule achtereenvolgens op de verschillende punten toe te passen. De benadering in punt \(i\) wordt vaak genoteerd als \(w_i\). De recursieve formule voor Euler voorwaarts is:

\[\begin{align*} w_{n+1} = w_n + h·f(tn,wn) \end{align*}\]

De nauwkeurigheid van Euler voorwaarts is \(O(h)\). Implementatie van Euler voorwaarts op een gegeven interval \([a,b]\) kan volgens het volgende schema:

  1. Herschrijf de differentiaalvergelijking tot de vorm \(y′= f(x,y)\).

  2. Deel het interval \([a,b]\) op in stappen met grootte \(h\).

  3. Gegeven zijn \(x_0\) en \(y_0\), neem \(w_0 = y_0\).

  4. Gebruik de recursieve formule om achtereenvolgens \(w_1\) tot en met \(w_n\) (de benadering aan het eind van het interval) te berekenen.