2.4 Uitwerkingen

Opgave 2.1a

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= \pm \sqrt{x^2 + C} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} y\dfrac{dy}{dx} = x \end{align*}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(64)\[\begin{align} \int y\dfrac{dy}{dx} dx &= \int x dx \end{align}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).

(65)\[\begin{align} \int y dy &= \int x dx \end{align}\]

De primitieven nemen van beide kanten.

(66)\[\begin{align} \frac{1}{2}y^2 + C_1&= \frac{1}{2}x^2 + C_2\\ y^2 &= x^2 + C_3\\ y &= \pm \sqrt{x^2 + C} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 2.1b

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y & = \sqrt[3]{3e^x + C} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} e^{-x}y^2\dfrac{dy}{dx} = 1 \end{align*}\]

Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.

(67)\[\begin{align} y^2\dfrac{dy}{dx} &= \frac{1}{e^{-x}}\\ y^2\dfrac{dy}{dx} &= e^{x} \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(68)\[\begin{align} \int y^2\dfrac{dy}{dx} dx &= \int e^{x} dx \end{align}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).

(69)\[\begin{align} \int y^2 dy &= \int e^{x} dx \end{align}\]

De primitieven nemen van beide kanten.

(70)\[\begin{align} \frac{1}{3}y^3 + C_1 & = e^x + C_2\\ \frac{1}{3}y^3 & = e^x + C_3\\ y^3 & = 3e^x + C_4\\ y & = \sqrt[3]{3e^x + C} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 2.1c

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= Ce^{-\cos(x)} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} = y\sin(x) \end{align*}\]

Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.

(71)\[\begin{align} \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx} &= \sin(x) \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(72)\[\begin{align} \int \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx} dx &= \int \sin(x) dx \end{align}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).

(73)\[\begin{align} \int \dfrac{1}{y} dy &= \int \sin(x) dx \end{align}\]

De primitieven nemen van beide kanten.

(74)\[\begin{align} \ln|y| + C_1 &= -\cos(x) + C_2\\ \ln|y| &= -\cos(x) + C_3\\ e^{\ln|y|} &= e^{-\cos(x) + C_3}\\ |y| &= e^{-\cos(x) + C_3}\\ |y| &= e^{-\cos(x)} \cdot e^{C_3}\\ y &= \pm e^{-\cos(x)} \cdot e^{C_3} \end{align}\]

\(y = 0\) voldoet aan de dv, dus

(75)\[\begin{align} y &= Ce^{-\cos(x)} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 2.1d

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= C\cdot (x+3)^2 - 2 &\qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} (x+3)\dfrac{dy}{dx} = 2(y+2) \end{align*}\]

Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.

(76)\[\begin{align} \frac{1}{(y+2)} \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{2}{(x+3)} \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(77)\[\begin{align} \int \frac{1}{(y+2)} \dfrac{dy}{dx} dx &= \int \dfrac{2}{(x+3)}dx \end{align}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).

(78)\[\begin{align} \int \frac{1}{(y+2)} dy &= \int \dfrac{2}{(x+3)}dx \end{align}\]

De primitieven nemen van beide kanten.

(79)\[\begin{align} \ln|y+2| + C_1 &= 2\ln|x+3| + C_2\\ \ln|y+2| &= 2\ln|x+3| + C_3\\ e^{\ln|y+2|} &= e^{2\ln|x+3| + c_3}\\ |y+2| &= e^{2\ln|x+3| + c_3}\\ |y+2| &= e^{\ln(x+3)^2 + c_3}\\ |y+2| &= e^{\ln(x+3)^2} \cdot e^{c_3}\\ |y+2| &= (x+3)^2 \cdot e^{c3}\\ y+2 &= \pm (x+3)^2 \cdot e^{c3} \end{align}\]

\(y+2 = 0\) voldoet aan de dv, dus

(80)\[\begin{align} y+2 &= C\cdot (x+3)^2 &\qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \\ y &= C\cdot (x+3)^2 - 2 &\qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 2.2a

Antwoord

De gevraagde oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= \frac{1}{\arcsin(x) + 2} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de oplossing van de volgende differentiaalvergelijking met gegeven (begin-)voorwaarde.

\[\begin{align*} \sqrt{1-x^2}\dfrac{dy}{dx} = -y^2 \qquad y(0)=\frac{1}{2} \end{align*}\]

Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.

(81)\[\begin{align} -\dfrac{1}{y^2}\dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(82)\[\begin{align} \int -\dfrac{1}{y^2}\dfrac{dy}{dx} dx &= \int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx \end{align}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).

(83)\[\begin{align} \int -\dfrac{1}{y^2} dy &= \int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx \end{align}\]

De primitieven nemen van beide kanten.

(84)\[\begin{align} \frac{1}{y} + C_1 &= \arcsin(x) + C_2\\ \frac{1}{y} &= \arcsin(x) + C_3 \\ y &= \frac{1}{\arcsin(x) + C} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

De beginvoorwaarde gebruiken voor het vinden van de constante C.

Er geldt \(y(0)=\frac{1}{2}\) dus,

(85)\[\begin{align} \frac{1}{2} &= \frac{1}{\arcsin(0) + C} \\ \frac{1}{2} &= \frac{1}{0 + C} \\ C &= 2 \end{align}\]

De constante invullen in de gevonden algemene oplossing geeft;

(86)\[\begin{align} y &= \frac{1}{\arcsin(x) + 2} \end{align}\]

Opgave 2.2b

Antwoord

De gevraagde oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= \pm \sqrt{\dfrac{5}{x^2} -1} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de oplossing van de volgende differentiaalvergelijking met gegeven (begin-)voorwaarde.

\[\begin{align*} -x\dfrac{dy}{dx} = \frac{1+y^2}{y} \qquad y(1)=2 \end{align*}\]

Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.

(87)\[\begin{align} \frac{y}{1+y^2} \dfrac{dy}{dx} &= -\frac{1}{x} \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(88)\[\begin{align} \int \frac{y}{1+y^2} \dfrac{dy}{dx} dx &= \int -\frac{1}{x} dx \end{align}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\)

(89)\[\begin{align} \int \frac{y}{1+y^2} dy &= \int -\frac{1}{x} dx \end{align}\]

Gebruik de substitutie methode,

(90)\[\begin{align} \text{stel: } u &= 1+y^2 \\ du &= 2y dy\\ \frac{1}{2} du &= y dy \end{align}\]

Vervang \(y dy\) door \(\frac{1}{2} du\)

(91)\[\begin{align} \int \frac{1}{2}\frac{1}{u} du &= \int -\frac{1}{x} dx \\ \frac{1}{2}\ln|u| + C_1 &= -\ln|x| + C_2 \\ \frac{1}{2}\ln|u| &= -\ln|x| + C_3 \\ \ln|u|^{\frac{1}{2}} &= \ln|x|^{-1} + C_3 \\ e^{\ln|u|^{\frac{1}{2}}} &= e^{\ln|x|^{-1} + C_3 }\\ |u|^{\frac{1}{2}} &= e^{\ln|x|^{-1} + C_3 }\\ |u|^{\frac{1}{2}} &= e^{\ln|x|^{-1}} \cdot e^{C_3} \\ |u|^{\frac{1}{2}} &= |x|^{-1} \cdot e^{C_3} \\ |u|^{\frac{1}{2}} &= \dfrac{1}{x}\cdot e^{C_3} \\ |u| &= \dfrac{1}{x^2}\cdot e^{C_3} \\ u &= \pm \dfrac{1}{x^2}\cdot e^{C_3} \end{align}\]

De oorspronkelijke waarde invullen dus \(u = 1+y^2\)

(92)\[\begin{align} 1 + y^2 &= \dfrac{1}{x^2}\cdot e^{C_3} \\ y^2 &= \dfrac{1}{x^2}\cdot e^{C_3} -1\\ y &= \pm \sqrt{\dfrac{1}{x^2}\cdot e^{C_3} -1}\\ y &= \pm \sqrt{\dfrac{C}{x^2} -1} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

De beginvoorwaarde gebruiken voor het vinden van de constante C.

Er geldt \(y(1)=2 \), dus

(93)\[\begin{align} 2 &= \pm \sqrt{\dfrac{C}{1^2} -1}\\ 4 &= C -1\\ C &= 5 \end{align}\]

De constante invullen in de gevonden algemene oplossing geeft;

(94)\[\begin{align} y &= \pm \sqrt{\dfrac{5}{x^2} -1} \end{align}\]

Opgave 2.2c

Antwoord

De gevraagde oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} \frac{1}{3}y^3 + y &= x^2 + 8 \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de oplossing van de volgende differentiaalvergelijking met gegeven (begin-)voorwaarde.

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{2x}{1+y^2} \qquad y(2)=3 \end{align*}\]

Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.

(95)\[\begin{align} {1+y^2} \dfrac{dy}{dx} &= 2x \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(96)\[\begin{align} \int {1+y^2} \dfrac{dy}{dx} dx &= \int 2x dx \end{align}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).

(97)\[\begin{align} \int {1+y^2} dy &= \int 2x dx \end{align}\]

De primitieven nemen van beide kanten.

(98)\[\begin{align} y + \frac{1}{3}y^3 + C_1 &= x^2 + C_2 \\ y + \frac{1}{3}y^3 &= x^2 + C \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

De beginvoorwaarde gebruiken voor het vinden van de constante C.

Er geldt \(y(2)=3\) dus,

(99)\[\begin{align} 3 + \frac{1}{3}\cdot 3^3 &= 2^2 + C \\ 12 &= 4 + C \\ C = 8 \end{align}\]

De constante invullen in de gevonden algemene oplossing geeft;

(100)\[\begin{align} \frac{1}{3}y^3 + y &= x^2 + 8 \end{align}\]