5.2 Elektrisch-systeem

5.2 Elektrisch-systeem#

5.2.1 RC-netwerk#

Theorie

Een andere toepassing van een differentiaalvergelijking is een RC-netwerk. Dus beschouw een netwerk dat een serieschakeling is van een spanningsbron, een weerstand en een condensator. Doel is om een formule voor de stroom \(I\) als functie van de tijd, \(t\) te bepalen.

De spanning geleverd door de spanningsbron is gegeven en gelijk aan \(U(t)\). Ga ervan uit dat de weerstand \(R\) is en de condensator capaciteit \(C\) heeft. De spanning over de condensator is \(0V\) op tijdstip \(t_0\).

De tweede wet van Kirchhoff vertelt dat de som van de potentiaalverschillen gelijk moet zijn aan \(0\), dus dat de som van de spanning over de weerstand en de spanning over de condensator gelijk moet zijn aan \(U(t)\).

De wet van Ohm geeft de spanning over de weerstand:

\[\begin{align*} U_R(t) = RI(t) \end{align*}\]

De spanning over de condensator wordt gegeven door:

\[\begin{align*} U_C(t) = \dfrac{1}{C} \int I(t)dt \end{align*}\]

Er geldt dus:

\[\begin{align*} U(t) &= U_R(t) + U_C(t) \\ &=RI(t) +\dfrac{1}{C} \int I(t)dt \end{align*}\]

Differentiëren van beide kanten van de vergelijking geeft de gewenste differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \dfrac{dU}{dt} &= R\dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{C}I \\ \end{align*}\]

Voorbeeld 1: RC-Netwerk

Bepaal de stroomsterkte \(I(t)\) in een RC-netwerk als de volgende parameters zijn gegeven:

\(R = 200\)\(\Omega\), \(C =0.5\)F, \(U(t)=200\)V en \(I(0)=2.0\)A

Voor een RC-kring geldt:

(831)#\[\begin{align} U(t) &= U_R + U_C \\ &= R \cdot I + \dfrac{1}{C} \int I dt \end{align}\]

Beide zijdes differentiëren geeft de gevraagde DV.:

(832)#\[\begin{align} \dfrac{dU(t)}{dt} &= R \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{C} \cdot I \end{align}\]

De gegevens invullen in de DV geeft:

(833)#\[\begin{align} \dfrac{dU(t)}{dt} &= 200 \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{0.5} \cdot I\\ \dfrac{d}{dt}(200) &= 200 \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{0.5} \cdot I \\ 0 &= 200 \cdot \dfrac{dI}{dt} + 2 \cdot I \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(834)#\[\begin{align} 200\dfrac{dI}{dt} + 2I = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(835)#\[\begin{align} I = Ce^{\lambda t} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(836)#\[\begin{align} 200\lambda \cdot Ce^{\lambda t} + 2\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \\ (200\lambda +2 )\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,

(837)#\[\begin{align} 200\lambda +2 &= 0 \\ 200\lambda &= -2 \\ \lambda &= -\dfrac{2}{200} = -\dfrac{1}{100} \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(838)#\[\begin{align} I = Ce^{-\frac{1}{100}t} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om C te bepalen. \(I(0) = 2\)

Dus invullen geeft:

(839)#\[\begin{align} 2 &= Ce^{-\frac{1}{100} \cdot 0} \\ 2 &= C \cdot 1 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(840)#\[\begin{align} C &= 2 \end{align}\]

Dus C invullen in de totale oplossing geeft:

(841)#\[\begin{align} I &= 2 \cdot e^{-\frac{1}{100}t} \end{align}\]

Oefening 1

Bepaal de stroomsterkte \(I(t)\) in een RC-netwerk als de volgende parameters zijn gegeven:

\(R = 50\)\(\Omega\), \(C =0.1\)F, \(U(t)=100\)V en \(I(0)=5.0\)A

Uitwerking

Bepaal de stroomsterkte \(I(t)\) in een RC-netwerk als de volgende parameters zijn gegeven:

\(R = 50\)\(\Omega\), \(C =0.1\)F, \(U(t)=100\)V en \(I(0)=5.0\)A

Voor een RC-kring geldt:

(842)#\[\begin{align} U(t) &= U_R + U_C \\ &= R \cdot I + \dfrac{1}{C} \int I dt \end{align}\]

Beide zijdes differentiëren geeft de gevraagde DV.:

(843)#\[\begin{align} \dfrac{dU(t)}{dt} &= R \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{C} \cdot I \end{align}\]

De gegevens invullen in de DV geeft:

(844)#\[\begin{align} \dfrac{dU(t)}{dt} &= 50 \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{0.1} \cdot I\\ \dfrac{d}{dt}(100) &= 50 \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{0.1} \cdot I \\ 0 &= 50 \cdot \dfrac{dI}{dt} + 10 \cdot I \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(845)#\[\begin{align} 50\dfrac{dI}{dt} + 10I = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(846)#\[\begin{align} I = Ce^{\lambda t} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(847)#\[\begin{align} 50\lambda \cdot Ce^{\lambda t} + 10\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \\ (50\lambda +10 )\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,

(848)#\[\begin{align} 50\lambda +10 &= 0 \\ 50\lambda &= -10 \\ \lambda &= -\dfrac{10}{50} = -\dfrac{1}{5} \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(849)#\[\begin{align} I = Ce^{-\frac{1}{5}t} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om C te bepalen. \(I(0) = 5\)

Dus invullen geeft:

(850)#\[\begin{align} 5 &= Ce^{-\frac{1}{5} \cdot 0} \\ 5 &= C \cdot 1 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(851)#\[\begin{align} C &= 5 \end{align}\]

Dus C invullen in de totale oplossing geeft:

(852)#\[\begin{align} I &= 5 \cdot e^{-\frac{1}{5}t} \end{align}\]

Oefening 2

Bepaal de stroomsterkte \(I(t)\) in een RC-netwerk als de volgende parameters zijn gegeven:

\(R = 100\)\(\Omega\), \(C =0.2\)F, \(U(t)=100 \sin(t)\)V en \(I(0)=2.0\)A

Uitwerking

Bepaal de stroomsterkte \(I(t)\) in een RC-netwerk als de volgende parameters zijn gegeven:

\(R = 100\)\(\Omega\), \(C =0.2\)F, \(U(t)=100 \sin(t)\)V en \(I(0)=2.0\)A

Voor een RC-kring geldt:

(853)#\[\begin{align} U(t) &= U_R + U_C \\ &= R \cdot I + \dfrac{1}{C} \int I dt \end{align}\]

Beide zijdes differentiëren geeft de gevraagde DV.:

(854)#\[\begin{align} \dfrac{dU(t)}{dt} &= R \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{C} \cdot I \end{align}\]

De gegevens invullen in de DV geeft:

(855)#\[\begin{align} \dfrac{dU(t)}{dt} &= 100 \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{0.2} \cdot I\\ \dfrac{d}{dt}(100 \sin(t)) &= 100 \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{0.2} \cdot I \\ 100 \cos(t) &= 100 \cdot \dfrac{dI}{dt} + 5 \cdot I \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(856)#\[\begin{align} 100\dfrac{dI}{dt} + 5I = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(857)#\[\begin{align} I_h = Ce^{\lambda t} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(858)#\[\begin{align} 100\lambda \cdot Ce^{\lambda t} + 5\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \\ (100\lambda +5 )\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,

(859)#\[\begin{align} 100\lambda +5 &= 0 \\ 100\lambda &= -5 \\ \lambda &= -\dfrac{5}{100} = -\dfrac{1}{20} \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(860)#\[\begin{align} I_h = Ce^{-\frac{1}{20}t} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.

Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(861)#\[\begin{align} I_p &= A \sin(t) + B \cos(t) \\ I_p' &= A \cos(t) - B \sin(t) \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(862)#\[\begin{align} 100 \cdot (A \cos(t) - B \sin(t)) + 5 (A \sin(t) + B \cos(t)) &= 100\cos(t) \\ (100A+5B)\cos(t) + (5A -100B)\sin(t) &= 100\cos(t) \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(863)#\[\begin{align} 5A-100B &= 0 \\ 100A+5B &= 100 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(864)#\[\begin{align} 5A &= 100B \\ A &= 20B \end{align}\]

\(A \) invullen geeft:

(865)#\[\begin{align} 100 \cdot (20B) +5B &= 100\\ 2005B &= 100\\ B &= \dfrac{100}{2005} = \dfrac{20}{401} \end{align}\]

\(B \) invullen geeft:

(866)#\[\begin{align} A &= 20B \\ A &= 20 \cdot \dfrac{20}{401} \\ A &= \dfrac{400}{401} \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(867)#\[\begin{align} I_p = \dfrac{400}{401}\sin(t) + \dfrac{20}{401}\cos(t) \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(868)#\[\begin{align} I &= I_h + I_p \\ I &= Ce^{-\frac{1}{20}t} +\dfrac{400}{401}\sin(t) + \dfrac{20}{401} \cos(t) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om C te bepalen. \(I(0) = 2\)

Dus invullen geeft:

(869)#\[\begin{align} 2 &= Ce^{-\frac{1}{20} \cdot 0} +\dfrac{400}{401}\sin(0) + \dfrac{20}{401}\cos(0) \\ 2 &= C \cdot 1 +\dfrac{400}{401} \cdot 0 + \dfrac{20}{401} \cdot 1 \\ \end{align}\]

Hieruit volgt:

(870)#\[\begin{align} C &= 2 - \dfrac{20}{401} \\ C &= \dfrac{782}{401} \end{align}\]

Dus C invullen in de totale oplossing geeft:

(871)#\[\begin{align} I &= \dfrac{782}{401}e^{-\frac{1}{20}t} +\dfrac{400}{401}\sin(t) + \dfrac{20}{401} \cos(t) \end{align}\]

5.2.2 RL-netwerk#

Theorie

Een andere toepassing van een differentiaalvergelijking is een RL-netwerk. Dus beschouw een netwerk dat een serieschakeling is van een spanningsbron, een weerstand en een spoel met zelfinductie. Doel is om een formule voor de stroom \(I\) als functie van de tijd, \(t\) te bepalen.

De spanning geleverd door de spanningsbron is gegeven en gelijk aan \(U(t)\). Ga ervan uit dat de weerstand \(R\) is en de spoel met zelfinductie capaciteit \(L\) heeft.

De tweede wet van Kirchhoff vertelt dat de som van de potentiaalverschillen gelijk moet zijn aan \(0\), dus dat de som van de spanning over de weerstand en de spanning over de spoel gelijk moet zijn aan \(U(t)\).

De wet van Ohm geeft de spanning over de weerstand:

\[\begin{align*} U_R(t) = RI(t) \end{align*}\]

De spanning over de speol wordt gegeven door:

\[\begin{align*} U_L(t) = L \cdot \dfrac{dI}{dt} \end{align*}\]

Er geldt dus:

\[\begin{align*} U(t) &= U_L(t) + U_R(t) \\ &= L\dfrac{dI}{dt} + RI(t) \end{align*}\]

Differentiëren van de vergelijking is niet nodig, de gewenste differentiaalvergelijking hebben we al:

\[\begin{align*} U(t) &= L\dfrac{dI}{dt} + RI(t) \end{align*}\]

Voorbeeld 2: RL-Netwerk

Bepaal de stroomsterkte \(I(t)\) in een RL-netwerk als de volgende parameters zijn gegeven:

\(R = 200\)\(\Omega\), \(L =2\)H, \(U(t)=175\)V en \(I(0)=3.0\)A

Voor een RL-kring geldt:

(872)#\[\begin{align} U(t) &= U_R + U_L \\ &= L \cdot \dfrac{dI}{dt} + R \cdot I \end{align}\]

De gegevens invullen in de DV geeft:

(873)#\[\begin{align} U(t) &= 2 \cdot \dfrac{dI}{dt} + 200 \cdot I\\ 175 &= 2 \cdot \dfrac{dI}{dt} + 200 \cdot I \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(874)#\[\begin{align} 2\dfrac{dI}{dt} + 200I = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(875)#\[\begin{align} I = Ce^{\lambda t} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(876)#\[\begin{align} 2\lambda \cdot Ce^{\lambda t} + 200\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \\ (2\lambda +200 )\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,

(877)#\[\begin{align} 2\lambda +200 &= 0 \\ 2\lambda &= -200 \\ \lambda &= -\dfrac{200}{2} = -100 \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(878)#\[\begin{align} I_h = Ce^{-100t} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.

Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(879)#\[\begin{align} I_p &= A \\ I_p' &= 0 \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(880)#\[\begin{align} 2 \cdot ( 0 ) + 200 ( A ) &= 175 \\ \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(881)#\[\begin{align} 200A &= 175 \\ A &= \dfrac{175}{200} = \dfrac{7}{8} \end{align}\]

De waarde voor \(A\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(882)#\[\begin{align} I_p = \dfrac{7}{8} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(883)#\[\begin{align} I &= I_h + I_p \\ I &= Ce^{-100t} + \dfrac{7}{8} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om C te bepalen. \(I(0) = 0\)

Dus invullen geeft:

(884)#\[\begin{align} 0 &= Ce^{-100 \cdot } + \dfrac{7}{8} \\ 0 &= C \cdot 1 + \dfrac{7}{8} \\ C= - \dfrac{7}{8} \end{align}\]

Dus C invullen in de totale oplossing geeft:

(885)#\[\begin{align} I &= - \dfrac{7}{8}e^{-100t} + \dfrac{7}{8} \end{align}\]

Oefening 3

Bepaal de stroomsterkte \(I(t)\) in een RL-netwerk als de volgende parameters zijn gegeven:

\(R = 50\)\(\Omega\), \(L =10\)H, \(U(t)=100\)V en \(I(0)=0.0\)A

Uitwerking

Bepaal de stroomsterkte \(I(t)\) in een RL-netwerk als de volgende parameters zijn gegeven:

\(R = 50\)\(\Omega\), \(L =10\)H, \(U(t)=100\)V en \(I(0)=0.0\)A

Voor een RL-kring geldt:

(886)#\[\begin{align} U(t) &= U_R + U_L \\ &= L \cdot \dfrac{dI}{dt} + R \cdot I \end{align}\]

De gegevens invullen in de DV geeft:

(887)#\[\begin{align} U(t) &= 10 \cdot \dfrac{dI}{dt} + 50 \cdot I\\ 100 &= 10 \cdot \dfrac{dI}{dt} + 50 \cdot I \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(888)#\[\begin{align} 10\dfrac{dI}{dt} + 50I = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(889)#\[\begin{align} I = Ce^{\lambda t} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(890)#\[\begin{align} 10\lambda \cdot Ce^{\lambda t} + 50\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \\ (10\lambda +50 )\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,

(891)#\[\begin{align} 10\lambda + 50 &= 0 \\ 10\lambda &= -50 \\ \lambda &= -\dfrac{50}{10} = -5 \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(892)#\[\begin{align} I_h = Ce^{-5t} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.

Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(893)#\[\begin{align} I_p &= A \\ I_p' &= 0 \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(894)#\[\begin{align} 10 \cdot ( 0 ) + 50 ( A ) &= 100 \\ \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(895)#\[\begin{align} 50A &= 100 \\ A &= \dfrac{100}{50} = 2 \end{align}\]

De waarde voor \(A\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(896)#\[\begin{align} I_p = 2 \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(897)#\[\begin{align} I &= I_h + I_p \\ I &= Ce^{-5t} + 2 \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om C te bepalen. \(I(0) = 0\)

Dus invullen geeft:

(898)#\[\begin{align} 0 &= Ce^{-5 \cdot } + 2 \\ 0 &= C \cdot 1 + 2 \\ C &= - 2 \end{align}\]

Dus C invullen in de totale oplossing geeft:

(899)#\[\begin{align} I &= - 2e^{-5t} + 2 \end{align}\]
Contents