1.1 Definitie

Theorie: Differentiaalvergelijking

In veel (onder andere fysische en elektrische) praktijkproblemen is het onmogelijk om direct een functie af te leiden die de relatie tussen twee variabelen beschrijft. In veel van die gevallen is het echter wel mogelijk om een vergelijking op te stellen die de relatie beschrijft tussen de twee variabelen, waarin één of meer van de afgeleiden van die functie voorkomt.

Een dergelijke vergelijking wordt een differentiaalvergelijking genoemd. In sommige gevallen kunnen deze vergelijkingen analytisch worden opgelost, in veel andere gevallen kan de oplossing alleen benaderd worden met behulp van numerieke methoden. In dit vak maak je kennis met beide oplossingsmethoden.

Voorbeeld: Differentiaalvergelijking

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} &= -3x^2 \end{align*}\]

Dit is een zeer eenvoudige differentiaalvergelijking. De oplossing van deze differentiaalvergelijking kan direct door integratie verkregen worden:

\[\begin{align*} y(x) = −x^3 + C \end{align*}\]

Zoals in het voorbeeld te zien is,is de oplossing van een differentiaalvergelijking niet uniek. Dit is herkenbaar vanuit de integraalrekening, waar bij een oplossing een willekeurige constante kan worden opgeteld.

Theorie: Algemene oplossing en Unieke oplossing

De verzameling van alle oplossingen van een differentiaalvergelijking wordt de algemene oplossing van die differentiaalvergelijking genoemd. In veel praktijktoepassingen zijn één of meer begin- of randvoorwaarden bekend, waarmee de unieke oplossing voor die situatie kan worden bepaald.

Theorie: Orde van differentiaalvergelijking

De orde van een differentiaalvergelijking is gelijk aan de hoogste orde afgeleide die in de vergelijking voorkomt.

Voorbeeld: Orde van differentiaalvergelijking

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} + 3xy &= 2 \end{align*}\]

is een voorbeeld van een tweede orde differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} 3x^2t\dfrac{d^3y}{dx^3} + \dfrac{d^2y}{dx^2} + \dfrac{dy}{dx} &= 0 \end{align*}\]

is een voorbeeld van een derde orde differentiaalvergelijking.

In dit vak wordt gewerkt met eerste en tweede orde differentiaalvergelijkingen.

Theorie

Merk op: Bij hogere orde differentiaalvergelijkingen zal de algemene oplossing meerdere integratieconstanten bevatten. De algemene oplossing van een \(n-\) de orde differentiaalvergelijking heeft \(n-\)integratiecostanten. Voor het vinden van een unieke oplossing in een bepaalde situatie zijn dan ook tenminste \(n\) randvoorwaarden nodig.