5.5 Uitwerkingen les 7

Opgave 1

\( \newcommand{\R}{100} \newcommand{\L}{2} \newcommand{\C}{0.2} \newcommand{\U}{24} \newcommand{\CC}{5} \newcommand{\LC}{3} \newcommand{\Leen}{-49.95} \newcommand{\Ltwee}{-0.05} \newcommand{\Ceen}{-0.007} \newcommand{\Ctwee}{0.239} \newcommand{\A}{-0.02} \newcommand{\B}{ -0.219} \)

Antwoord

De stroomsterkte, I (t) als functie van tijd is:

(1338)\[\begin{align} I &= \A e^{ \Leen x} + \B e^{\Ltwee x} + \Ceen \sin(x) + \Ctwee \cos(x) \end{align}\]

Uitwerking

Bepaal de stroomsterkte \(I(t)\) in een RLC-netwerk als de volgende parameters zijn gegeven:

\(R = \R\) \(\Omega\), \(L=\L\)H, $\(C =\C\)F, \(U(t)=\U \cos(t)\)V, \(I(0)=0.0\)A en \(I'(0)=1.0\)A/s

Voor een RLC-kring geldt:

(1339)\[\begin{align} U(t) &= U_L + U_r + U_c \\ &= L \cdot \dfrac{dI}{dt} + R \cdot I +\dfrac{1}{C} \int I dt \end{align}\]

Beide zijdes differenti”eren geeft de gevraagde DV.:

(1340)\[\begin{align} \dfrac{dU(t)}{dt} &= L \cdot \dfrac{d^2I}{dt^2} + R \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{C} \cdot I \end{align}\]

De gegevens invullen in de DV geeft:

(1341)\[\begin{align} \dfrac{dU(t)}{dt} &= \L \cdot \dfrac{d^2I}{dt^2} + \R \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{\C} \cdot I\\ -24\sin(t) &= \L \cdot \dfrac{d^2I}{dt^2} + \R \cdot \dfrac{dI}{dt} + \dfrac{1}{\C} \cdot I\\ -24\sin(t) &= \L \cdot \dfrac{d^2I}{dt^2} + \R \cdot \dfrac{dI}{dt} + \CC \cdot I \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1342)\[\begin{align} \L \dfrac{d^2I}{dt^2} + \R \dfrac{dI}{dt} + \CC I = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(1343)\[\begin{align} I = Ce^{\lambda t} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1344)\[\begin{align} \L \lambda^2 \cdot Ce^{\lambda t} +\R \lambda \cdot Ce^{\lambda t} + \CC \cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \\ (\L \lambda^2 + \R \lambda +\CC )\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,

(1345)\[\begin{align} \L \lambda^2 + \R \lambda + \CC &= 0 \\ 10\lambda^2 + 100\lambda +1 &= 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(1346)\[\begin{align} D = (\R)^2 - 4 \cdot \L \cdot \CC = 10000-40=9960 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(1347)\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{-\R \pm \sqrt{9960}}{2 \cdot \L }\\ \lambda_{1} &= \Leen\\ \lambda_{2} &= \Ltwee \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} I_h = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_1 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

(1348)\[\begin{align} I_h = C_1e^{\Leen x} + C_2e^{ \Ltwee x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(1349)\[\begin{align} y_p = A\sin(x) + B\cos(x) \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1350)\[\begin{align} \L \cdot(-A\sin(x) - B\cos(x)) + \R \cdot (A\cos(x) - B\sin(x)) + \CC \cdot (A\sin(x) + B\cos(x)) &= - \U \sin(x) \\ - \L A\sin(x) - \L B\cos(x) + \R A\cos(x) - \R B\sin(x)) + \CC A\sin(x) + \CC B\cos(x) = - \U \sin(x) \\ (- \L A + \CC A - \R B) \sin(x) + (\R A+ \CC B- \L B)\cos(x) = - \U \sin(x) \\ (\LC A - \R B) \sin(x) + (\R A + \LC B)\cos(x) = - \U \sin(x) \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(1351)\[\begin{align} \LC A - \R B &= - \U \\ \R A + \LC B &= 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1352)\[\begin{align} \R A + \LC B &= 0 \\ \R A &= -\LC B \\ A &= -0.03B \end{align}\]

\(A \) invullen geeft:

(1353)\[\begin{align} \LC \cdot -0.03B - \R B &= - \U\\ - 0.09B - \R B &= - \U \\ -100.09B &= - \U\\ B &= \Ctwee \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

\(B \) invullen geeft:

(1354)\[\begin{align} A &= -0.03B \\ A &= 0.03 \cdot \Ctwee \\ A &= \Ceen \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(1355)\[\begin{align} I_p = \Ceen \sin(x) + \Ctwee \cos(x) \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1356)\[\begin{align} I &= I_h + I_p \\ I &= C_1e^{ \Leen x} + C_2e^{ \Ltwee x} + \Ceen \sin(x) + \Ctwee \cos(x) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om \(C_1\) en \(C_2\) te bepalen. \(I(0) = 0\) en \(I'(0) = 1\)

Dus invullen geeft voor \(I(0) = 0\):

(1357)\[\begin{align} 0 &= C_1e^{ \Leen \cdot 0} + C_2e^{ \Ltwee \cdot 0} + \Ceen \sin(0) + \Ctwee \cos(0) \\ 0 &= C_1e^{0} + C_2e^{0} + 0 + \Ctwee \\ 0 &= C_1 + C_2 + \Ctwee \\ - \Ctwee &= C_1 + C_2 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1358)\[\begin{align} C_1 &= - \Ctwee -C_2 \end{align}\]

Dus invullen geeft voor \(I'(0) = 1\):

(1359)\[\begin{align} 1 &= \Leen C_1e^{ \Leen \cdot 0} \Ltwee e^{ \Ltwee \cdot 0} + \Ceen \cos(0) - \Ctwee \sin(0) \\ 1 &= \Leen C_1e^{0} \Ltwee C_2e^{0} + \Ceen - 0 \\ 1 &= \Leen C_1 \Ltwee C_2 + \Ceen \\ 1.007 &= \Leen C_1 \Ltwee C_2 \end{align}\]

\(C_1\) invullen geeft:

(1360)\[\begin{align} 1.007 &= \Leen (- \Ctwee -C_2) \Ltwee C_2 \\ 1.007 &= 11.938 - \Leen C_2 \Ltwee C_2 \\ -10.931 &= 49.90C_2\\ C_2 &= \B \end{align}\]

\(C_2\) invullen geeft:

(1361)\[\begin{align} C_1 &= - \Ctwee - \B\\ C_1 &= \A \end{align}\]

Dus \(C_1\) en \(C_2\) invullen in de totale oplossing geeft:

(1362)\[\begin{align} I &= \A e^{ \Leen x} + \B e^{\Ltwee x} + \Ceen \sin(x) + \Ctwee \cos(x) \end{align}\]

Opgave 2

\( \newcommand{\m}{10} \newcommand{\c}{50} \newcommand{\q}{5} \newcommand{\Unul}{0.25} \newcommand{\Ceen}{0.007} \newcommand{\Ctwee}{0.239} \)

Antwoord

Uitwerking

Voor een massa-veer-systeem geldt:

\[\begin{align*} F_{res} &= - F_v \\ F_{res} &= - c\cdot u\\ m \cdot a &= - c\cdot u \\ m \cdot \dfrac{d^2 u}{dt^2} &= - c\cdot u\quad \end{align*}\]

De gegevens invullen in de D.V. geeft:

\[\begin{align*} m \cdot \dfrac{d^2 u}{dt^2} &= - c \cdot u \\ \m \cdot \dfrac{d^2 u}{dt^2} &= - \c \cdot u \end{align*}\]

De homogene D.V. wordt:

\[\begin{align*} \m \dfrac{d^2u}{dt^2} + \c u = 0 \end{align*}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

\[\begin{align*} u_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Dus,

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Invullen in de D.V. geeft:

\[\begin{align*} \m (\lambda^2 Ce^{\lambda x}) + \c (Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ ( \m \lambda^2+ \c )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align*}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\). \ Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

\[\begin{align*} \m \lambda^2 + \c &= 0 \end{align*}\]

Dus de discriminant is,

\[\begin{align*} D = (0)^2 - 4 \cdot \m \cdot \c = -2000 \end{align*}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

\[\begin{align*} \lambda_{1,2} &= \dfrac{0 \pm i\sqrt{2000}}{2 \cdot \m }\\ \lambda_{1,2} &= \dfrac{0 \pm 4\sqrt{15}i}{2 \cdot \m }\\ \lambda_{1,2} &= -0 \pm \sqrt{ \q } \cdot i \end{align*}\]

Hieruit volgt dat \(p=0\) en \(q=\sqrt{ \q }\)

De waarde voor \(p\) en \(q\) invullen in de homogene oplossing geeft;

\[\begin{align*} u_h &= e^{px}(C_1\cos(qt) + C_2\sin(qt)) \\ u_h &= e^{0\cdot x}(C_1\cos(\sqrt{ \q }t) + C_2\sin (\sqrt{ \q }t ) ) \\ u_h &= C_1\cos(\sqrt{ \q }t) + C_2\sin (\sqrt{ \q }t ) \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align*}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om \(C_1\) en \(C_2\) te bepalen, \(u(0) = 0.25\) en \(u'(0) = 0\)\

Dus invullen geeft:

\[\begin{align*} u &= C_1\cos(\sqrt{ \q }t) + C_2\sin (\sqrt{ \q }t ) \\ \Unul &= C_1\cos(\sqrt{ \q } \cdot 0 ) + C_2\sin (\sqrt{ \q } \cdot 0) \\ \Unul &= C_1 \cdot 1 + 0 \end{align*}\]

Hieruit volgt:

\[\begin{align*} C_1 = \Unul \end{align*}\]

\(C_1 \) invullen geeft:

\[\begin{align*} u' &= -\sqrt{ \q } C_1\sin(\sqrt{ \q }t) + \sqrt{15} C_2\cos (\sqrt{ \q }t ) \\ 0 &= -\sqrt{ \q } C_1\sin(\sqrt{ \q } \cdot 0) + \sqrt{ \q } C_2\cos (\sqrt{ \q } \cdot 0 ) \\ 0 &= 0 + \sqrt{ \q } \cdot C_2 \cdot 1 \end{align*}\]

Hieruit volgt:

\[\begin{align*} C_2 &= 0 \end{align*}\]

Dus \(C_1\) en \(C_2\) invullen in de totale oplossing geeft:

\[\begin{align*} u &= C_1\cos(\sqrt{ \q }t) + C_2\sin (\sqrt{ \q }t ) \\ u &= \Unul \cos(\sqrt{ \q }t) \end{align*}\]