1.5 Uitwerkingen

Toon aan dat de gegeven oplossing voldoet aan de differentiaalvergelijking.

Opgave 1.1a

Uitwerkingen

Geef van de volgende differentiaalvergelijking aan of dit een lineaire differentiaalvergelijking is of niet. Geef als het een lineaire differentiaalvergelijking betreft ook aan of deze homogeen of inhomogeen is. Toon vervolgens aan dat de gegeven oplossing voldoet aan de differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} - 2y &= e^{3x} \qquad \text{geeft} \qquad y(x)= e^{3x} + Ce^{2x} \end{align*}\]

De differentiaalvergelijking staat al in de goede vorm. Hieruit volgt dat de vergelijking lineair is. De differentiaalvergelijking is ongeljik aan 0, dus de vergelijking is inhomogeen.

Gegeven de differentiaalvergelijking:

(12)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} - 2y &= e^{3x} \end{align}\]

Stel de differentiaalvergelijking heeft als oplossing:

(13)\[\begin{align} y(x)= e^{3x} + Ce^{2x} \end{align}\]

Differentiëren van de functie geeft:

(14)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= 3e^{3x} + 2Ce^{2x} \\ \end{align}\]

Substitutie in de D.V. geeft dan:

(15)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} - 2y &= e^{3x} \\ 3e^{3x} + 2Ce^{2x} - 2 (e^{3x} + Ce^{2x}) &= e^{3x}\\ 3e^{3x} + 2Ce^{2x} - 2e^{3x} - 2Ce^{2x} &= e^{3x}\\ 3e^{3x} - 2e^{3x} &= e^{3x}\\ e^{3x} &= e^{3x} \end{align}\]

Oftewel \(e^{3x}\) = \(e^{3x}\) dus deze functie voldoet aan de differentiaalvergelijking en is een oplossing.

Opgave 1.1b

Uitwerkingen

Geef van de volgende differentiaalvergelijking aan of dit een lineaire differentiaalvergelijking is of niet. Geef als het een lineaire differentiaalvergelijking betreft ook aan of deze homogeen of inhomogeen is. Toon vervolgens aan dat de gegeven oplossing voldoet aan de differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{1}{t}\dfrac{dx}{dt} + 2x &= 1 \qquad \text{geeft} \qquad x(t)= \dfrac{1}{2} + Ce^{-t^2} \end{align*}\]

De differentiaalvergelijking staat al in de goede vorm. Hieruit volgt dat de vergelijking lineair is. De differentiaalvergelijking is ongeljik aan 0, dus de vergelijking is inhomogeen.

Gegeven de differentiaalvergelijking:

(16)\[\begin{align} \dfrac{1}{t}\dfrac{dx}{dt} + 2x &= 1 \end{align}\]

Stel de differentiaalvergelijking heeft als oplossing:

(17)\[\begin{align} x(t)= \dfrac{1}{2} + Ce^{-t^2} \end{align}\]

Differentiëren van de functie geeft:

(18)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= -2tCe^{-t^2} \\ \end{align}\]

Substitutie in de D.V. geeft dan:

(19)\[\begin{align} \dfrac{1}{t}\dfrac{dx}{dt} + 2x &= 1\\ \dfrac{1}{t} (-2tCe^{-t^2}) + 2 (\dfrac{1}{2} + Ce^{-t^2}) &= 1 \\ -2Ce^{-t^2} + 2 \cdot \dfrac{1}{2} + 2Ce^{-t^2}) &= 1 \\ 1 &= 1 \end{align}\]

Oftewel \(1\) = \(1\) dus deze functie voldoet aan de differentiaalvergelijking en is een oplossing.

Opgave 1.1c

Uitwerkingen

Geef van de volgende differentiaalvergelijking aan of dit een lineaire differentiaalvergelijking is of niet. Geef als het een lineaire differentiaalvergelijking betreft ook aan of deze homogeen of inhomogeen is. Toon vervolgens aan dat de gegeven oplossing voldoet aan de differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dt^2} + \dfrac{dy}{dt} - 2y &= 4t \qquad \text{geeft} \qquad y(x)= -2t - 1 + C_1e^{t} + C_2e^{-2t} \end{align*}\]

De differentiaalvergelijking staat al in de goede vorm. Hieruit volgt dat de vergelijking lineair is. De differentiaalvergelijking is ongeljik aan 0, dus de vergelijking is inhomogeen.

Gegeven de differentiaalvergelijking:

(20)\[\begin{align} \dfrac{d^2y}{dt^2} + \dfrac{dy}{dt} - 2y &= 4t \end{align}\]

Stel de differentiaalvergelijking heeft als oplossing:

(21)\[\begin{align} y(x)= -2t - 1 + C_1e^{t} + C_2e^{-2t} \end{align}\]

Differentiëren van de functie geeft:

(22)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= -2 + C_1e^{t} -2C_2e^{-2t} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= + C_1e^{t} + 4C_2e^{-2t} \end{align}\]

Substitutie in de D.V. geeft dan:

(23)\[\begin{align} \dfrac{d^2y}{dt^2} - \dfrac{dy}{dt} - 2y &= 4t \\ (C_1e^{t} + 4C_2e^{-2t}) + (-2 + C_1e^{t} -2C_2e^{-2t} ) - 2(-2t - 1 + C_1e^{t} + C_2e^{-2t}) &= 4t \\ (C_1e^{t} + 4C_2e^{-2t}) - 2 + C_1e^{t} - 2C_2e^{-2t} + 4t + 2 - 2C_1e^{t} - 2C_2e^{-2t} &= 4t \\ C_1e^{t} + C_1e^{t} - 2C_1e^{t} + 4C_2e^{-2t} - 2C_2e^{-2t} - 2C_2e^{-2t} - 2 + 2 + 4t &= 4t \\ 4t &= 4t \end{align}\]

Oftewel \(4t\) = \(4t\) dus deze functie voldoet aan de differentiaalvergelijking en is een oplossing.

Opgave 1.1d

Uitwerkingen

Geef van de volgende differentiaalvergelijking aan of dit een lineaire differentiaalvergelijking is of niet. Geef als het een lineaire differentiaalvergelijking betreft ook aan of deze homogeen of inhomogeen is. Toon vervolgens aan dat de gegeven oplossing voldoet aan de differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} + y^2\sin(x) &= 0 \qquad \text{geeft} \qquad y(x)= \dfrac{1}{1-\cos(x)} \end{align*}\]

De differentiaalvergelijking staat al in de goede vorm. Hieruit volgt dat de vergelijking niet-lineair is.

Gegeven de differentiaalvergelijking:

(24)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} + y^2\sin(x) &= 0 \end{align}\]

Stel de differentiaalvergelijking heeft als oplossing:

(25)\[\begin{align} y(x)= \dfrac{1}{1-\cos(x)} \\ y(x)= (1-\cos(x))^{-1} \end{align}\]

Differentiëren van de functie geeft:

(26)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= -(1-\cos(x))^{-2} \cdot sin(x) \\ \dfrac{dy}{dx} &= - \dfrac{sin(x)}{ (1-\cos(x))^{2}} \end{align}\]

Substitutie in de D.V. geeft dan:

(27)\[\begin{align} - \dfrac{sin(x)}{ (1-\cos(x))^{2}} + (\dfrac{1}{1-\cos(x)})^2 \cdot \sin(x) &= 0 \\ - \dfrac{sin(x)}{ (1-\cos(x))^{2}} + \dfrac{\sin(x)}{(1-\cos(x))^{2}} \cdot \sin(x) &= 0 \\ 0 &= 0 \end{align}\]

Oftewel \(0\) = \(0\) dus deze functie voldoet aan de differentiaalvergelijking en is een oplossing.

Opgave 1.2a

Uitwerkingen

Bepaal door integratie de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} &= -3x^2 \end{align*}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(28)\[\begin{align} y &= \int( -3x^2) dx \\ y &= -x^3 + C \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 1.2b

Uitwerkingen

Bepaal door integratie de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} &= - \cos(2x) \end{align*}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(29)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \int (- \cos(2x)) dx \\ \dfrac{dy}{dx} &= -\dfrac{1}{2} \sin(2x) + C_1 \\ \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(30)\[\begin{align} y &= \int (-\dfrac{1}{2} \sin(2x) + C_1) dx \\ y &= \dfrac{1}{4} \cos(2x) + C_1x + C_2 \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 1.2c

Uitwerkingen

Bepaal door integratie de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{1}{x}\dfrac{dy}{dx} = e^x \end{align*}\]

Herschrijf de vergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} = x \cdot e^x \end{align*}\]

Oplossen door partieel integreren. De algemene methode voor partieel integreren is;

\[\begin{align*} & \int f \cdot g' dx \\ &= \int f dg \\ &= f \cdot g - \int g \cdot df \end{align*}\]

Dit invullen voor de vergelijking geeft;

\[\begin{align*} y&= \int x \cdot e^x dx \\ &= \int x \cdot de^x \\ &= x \cdot e^x - \int e^x \cdot d1 \\ &= x \cdot e^x - \int e^x \cdot 1 dx \\ y&= x \cdot e^x - e^x + C \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Opgave 1.2d

Uitwerkingen

Bepaal door integratie de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{d^3y}{dx^3} &= 0 \end{align*}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(31)\[\begin{align} \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \int 0 dx \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= C_1 \\ \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(32)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \int C_1 dx \\ \dfrac{dy}{dx} &= C_1x + C_2 \\ \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(33)\[\begin{align} y &= \int (C_1x + C_2) dx \\ y &= \dfrac{1}{2}C_1x^2 + C_2x + C_3 \\ y &= C_1x^2 + C_2x + C_3 \qquad \text{met } C_{1,2,3} \in \mathbb{R} \end{align}\]