4.1 Homogene vergelijkingen

Theorie

Net als bij de eerste orde differentiaalvergelijkingen ligt het voor de hand om eerst te kijken naar homogene vergelijkingen:

\[\begin{align*} a\dfrac{d^2y}{dx^2} + b\dfrac{dy}{dx} + cy = 0 \end{align*}\]

Bij de eerste orde differentiaalvergelijkingen is met scheiden van variabelen gevonden dat de oplossing een e-macht is. Omdat dit een tweede orde differentiaalvergelijking is kan scheiden van variabelen niet toegepast worden. Duidelijk is wel dat een lineaire combinatie van \(y\) en zijn eerste en tweede afgeleide gelijk moet zijn aan 0. Het ligt dus voor de hand om een oplossing van de vorm \(y = e^{\lambda x}\) te raden en te substitueren in de differentiaalvergelijking. Bepaal eerst de benodigde afgeleiden:

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda e^{\lambda x}\\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 e^{\lambda x} \end{align*}\]

Substitueer de afgeleiden en de functie in de differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} a\dfrac{d^2y}{dx^2} + b\dfrac{dy}{dx} + cy = 0\\ a \lambda^2 e^{\lambda x} + b \lambda e^{\lambda x} + c e^{\lambda x} = 0 \end{align*}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

\[\begin{align*} a\lambda^2 +b\lambda+c &= 0 \end{align*}\]

Deze laatste vergelijking, \(a\lambda ^2 + b\lambda + c = 0\), wordt analoog aan de eerste orde situatie, de karakteristieke vergelijking genoemd. Deze vergelijking kan worden opgelost als een normale tweedegraads vergelijking. Er zijn dan ook drie gevallen te onderscheiden afhankelijk van het teken van de discriminant (D). In de komende drie paragrafen worden deze mogelijkheden afzonderlijk behandeld.

4.1.1 Discriminant is > 0

Theorie

Als de discriminant groter is dan \(0\) heeft de karakteristieke vergelijking twee verschillende, reële oplossingen, \(\lambda_1\) en \(\lambda_2\). Dit betekent dat zowel \(y_1 = e^{\lambda _1 x}\) als \(y_2 = e^{\lambda{_2x}}\) oplossingen zijn van de differentiaalvergelijking. Er kan eenvoudig aangetoond worden dat elke lineaire combinatie van deze twee functies ook een oplossing is van de differentiaalvergelijking.

Dus de algemene oplossing in dit geval is:

(393)\[\begin{align} y_h = C_1e^{\lambda _1 x} + C_2e^{\lambda _2 x} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align}\]

Voorbeeld 1: Discriminant is > 0

Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} + 3\dfrac{dy}{dx} - 18y = 0 \end{align*}\]

Als algemene oplossing voor de D.V. stel:

(394)\[\begin{align} y = Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(395)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(396)\[\begin{align} \lambda^2 Ce^{\lambda x} + 3(\lambda Ce^{\lambda x}) - 18(Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (\lambda^2 +3\lambda-18 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).

Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:

(397)\[\begin{align} \lambda^2 +3\lambda-18 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(398)\[\begin{align} D = (3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot -18 = 9 + 72 = 81 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(399)\[\begin{align} (\lambda +6)(\lambda -3) &= 0 \end{align}\]

dus \(\lambda_1 = -6\) en \(\lambda_2 = 3\)

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_2 x} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \\ y = C_1e^{-6 x} + C_2e^{3 x} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Oefening 1

Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} + 3\dfrac{dy}{dx} - 4y = 0 \end{align*}\]

Uitwerking

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} + 3\dfrac{dy}{dx} - 4y = 0 \end{align*}\]

Als algemene oplossing voor de D.V. stel:

(400)\[\begin{align} y = Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(401)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(402)\[\begin{align} \lambda^2 Ce^{\lambda x} + 3(\lambda Ce^{\lambda x}) - 4(Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (\lambda^2 +3\lambda-4 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).

Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:

(403)\[\begin{align} \lambda^2 +3\lambda-4 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(404)\[\begin{align} D = (3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot -4 = 9 + 16 = 25 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(405)\[\begin{align} (\lambda +4)(\lambda -1) &= 0 \end{align}\]

dus \(\lambda_1 = -4\) en \(\lambda_2 = 1\)

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_2 x} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \\ y = C_1e^{-4 x} + C_2e^{ x} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Oefening 2

Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} - 5\dfrac{dy}{dx} + 6y = 0 \end{align*}\]

Uitwerking

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} - 5\dfrac{dy}{dx} + 6y = 0 \end{align*}\]

Als algemene oplossing voor de D.V. stel:

(406)\[\begin{align} y = Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(407)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(408)\[\begin{align} \lambda^2 Ce^{\lambda x} -5 (\lambda Ce^{\lambda x}) +6 (Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (\lambda^2 -5 \lambda +6 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).

Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:

(409)\[\begin{align} \lambda^2 -5 \lambda +6 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(410)\[\begin{align} D = (-5)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 6 = 25 - 24 = 1 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(411)\[\begin{align} (\lambda -3)(\lambda -2) &= 0 \end{align}\]

dus \(\lambda_1 = 3\) en \(\lambda_2 = 2\)

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_2 x} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \\ y = C_1e^{3 x} + C_2e^{2 x} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align*}\]

4.1.2 Discriminant is = 0

Theorie

Als de discriminant gelijk is aan \(0\) heeft de karakteristieke vergelijking èèn reële oplossing \(\lambda\). Aangezien we een tweede orde differentiaalvergelijking oplossen weten we dat de algemene oplossing twee willekeurige constanten moet bevatten. Dus \(y = Ce^{\lambda x}\) is niet de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking. Er moet nog een term toegevoegd worden. De volgende stelling wordt zonder bewijs gegeven.

De algemene oplossing voor de differentiaalvergelijking als de discriminant van de karakteristieke vergelijking gelijk is aan \(0\) wordt gegeven door:

\[\begin{align*} y_h = C_1e^{\lambda x} + C_2xe^{\lambda x} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Voorbeeld 2: Discriminant is = 0

Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} -6\dfrac{dy}{dx} +9y = 0 \end{align*}\]

Als algemene oplossing voor de D.V. stel:

(412)\[\begin{align} y = Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(413)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(414)\[\begin{align} \lambda^2 Ce^{\lambda x} -6 (\lambda Ce^{\lambda x}) +9 (Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (\lambda^2 +3\lambda-18 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).

Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:

(415)\[\begin{align} \lambda^2 -6\lambda+9 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(416)\[\begin{align} D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 9 = 36 - 36 = 0 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(417)\[\begin{align} (\lambda -3)(\lambda -3) &= 0 \end{align}\]

dus \(\lambda_1 = 3\) en \(\lambda_2 = 3\)

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de algemene oplossing geeft;

(418)\[\begin{align} y &= C_1e^{\lambda_1 x} + C_2xe^{\lambda_2 x} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \\ y &= C_1e^{3 x} + C_2xe^{3 x} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \\ y &= (C_1 + C_2x)e^{3 x} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align}\]

Oefening 3

Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} +4 \dfrac{dy}{dx} + 4y = 0 \end{align*}\]

Uitwerking

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} +4 \dfrac{dy}{dx} +4y = 0 \end{align*}\]

Als algemene oplossing voor de D.V. stel:

(419)\[\begin{align} y = Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(420)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(421)\[\begin{align} \lambda^2 Ce^{\lambda x} +4 (\lambda Ce^{\lambda x}) +4 (Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (\lambda^2 +4 \lambda +4 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).

Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:

(422)\[\begin{align} \lambda^2 +4 \lambda +4 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(423)\[\begin{align} D = (4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16 - 16 = 0 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(424)\[\begin{align} (\lambda +2 )(\lambda +2) &= 0 \end{align}\]

dus \(\lambda_1 = -2\) en \(\lambda_2 = -2\)

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de algemene oplossing geeft;

(425)\[\begin{align} y &= C_1e^{\lambda_1 x} + C_2xe^{\lambda_2 x} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \\ y &= C_1e^{-2 x} + C_2xe^{-2 x} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \\ y &= (C_1 + C_2x)e^{-2 x} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align}\]

Oefening 4:

Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} -2\dfrac{dy}{dx} +y = 0 \end{align*}\]

Uitwerking

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} -2\dfrac{dy}{dx} +y = 0 \end{align*}\]

Als algemene oplossing voor de D.V. stel:

(426)\[\begin{align} y = Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(427)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(428)\[\begin{align} \lambda^2 Ce^{\lambda x} -2 (\lambda Ce^{\lambda x}) + (Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (\lambda^2 -2\lambda +1 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).

Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:

(429)\[\begin{align} \lambda^2 -2\lambda+1 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(430)\[\begin{align} D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(431)\[\begin{align} (\lambda -1)(\lambda -1) &= 0 \end{align}\]

dus \(\lambda_1 = 1\) en \(\lambda_2 = 1\)

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de algemene oplossing geeft;

(432)\[\begin{align} y &= C_1e^{\lambda_1 x} + C_2xe^{\lambda_2 x} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \\ y &= C_1e^{x} + C_2xe^{x} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \\ y &= (C_1 + C_2x)e^{x} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align}\]

4.1.3 Discriminant is < 0

Theorie

Dit is het lastigste geval. De karakteristieke vergelijking heeft twee complexe oplossingen (die elkaars complex geconjugeerde zijn). De oplossing zelf is wel reëel. Dus is het handig de oplossing zo te schrijven dat er geen complexe termen meer in voorkomen.

Stel dat de oplossingen van de karakteristieke vergelijking gegeven worden door \(\lambda_1 = p+qi\) en \(\lambda_2 = p−qi\).

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is dus een lineaire combinatie van de functies \(y_1 = e^{(p+qi)x}\) en \(y_2 = e^{(p−qi)x}\). Gebruik de goniometrische vorm om deze functies te herschrijven:

\[\begin{align*} y_1 &= e^{(p+qi)x} = e^{px}e^{iqx} = e^{px}(\cos(qx) + i \sin(qx)) \\ y_2 &= e^{(p−qi)x} = e^{px}e^{−iqx} = e^{px}(\cos(qx) − i \sin(qx)) \end{align*}\]

Door deze functies bij elkaar op te tellen en van elkaar af te trekken kunnen twee reële functies gevonden worden:

\[\begin{align*} y_3 &= \dfrac{1}{2}( y_1 + y_2 ) \\ &= \dfrac{1}{2} e^{px}(\cos(qx)+i\sin(qx)+\cos(qx)−i\sin(qx)) \\ &= e^{px} \cos(qx) \\ y_4 &= \dfrac{1}{2} (y_1 − y_2) \\ &= \dfrac{1}{2} e^{px}(\cos(qx)+i\sin(qx)−\cos(qx)+i\sin(qx)) \\ &= e^{px} \sin(qx) \end{align*}\]

De functies \(y_3\) en \(y_4\) zijn ook oplossingen van de differentiaalvergelijking omdat het lineaire combinaties zijn van de functies \(y_1\) en \(y_2\).

\[\begin{align*} y&= C_1y_3 + C_2y_4 \\ y&= C_1e^{px} \cos(qx) + C_2e^{px} \sin(qx) \end{align*}\]

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking wordt gegeven door:

\[\begin{align*} y_h&= e^{px}(C_1 \cos(qx) + C_2 \sin(qx)) \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Voorbeeld 3: Discriminant is < 0

Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} 2\dfrac{d^2y}{dx^2}+3\dfrac{dy}{dx} +\dfrac{9}{4}y = 0 \end{align*}\]

Als algemene oplossing voor de D.V. stel:

(433)\[\begin{align} y = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(434)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(435)\[\begin{align} 2(\lambda^2 Ce^{\lambda x}) + 3(\lambda Ce^{\lambda x}) +\dfrac{9}{4}(Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (2\lambda^2+ 3\lambda +\dfrac{9}{4} )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).

(436)\[\begin{align} 2\lambda^2 + 3\lambda +\dfrac{9}{4} &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(437)\[\begin{align} D = 3^2 - 4 \cdot 2 \cdot \dfrac{9}{4} = 9-18=-9 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(438)\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{-3 \pm i\sqrt{9}}{2 \cdot 2}\\ \lambda_{1,2} &= -\dfrac{3}{4} \pm i \dfrac{\sqrt{9}}{4} \\ \lambda_{1,2} &= -\dfrac{3}{4} \pm i \dfrac{3}{4} \end{align}\]

Hieruit volgt dat \(p=-\dfrac{3}{4}\) en \(q=\dfrac{3}{4}\)

De waarde voor \(p\) en \(q\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y = e^{px}(C_1\cos(qx) + C_2\sin(qx)) \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align*}\]

(439)\[\begin{align} y = e^{-\frac{3}{4}x}\left(C_1\cos\left(\dfrac{3}{4}x\right) + C_2\sin \left( \dfrac{3}{4}x \right)\right) \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align}\]

Oefening 5

Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} -4 \dfrac{dy}{dx} +5 y = 0 \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} -4 \dfrac{dy}{dx} +5 y = 0 \end{align*}\]

Als algemene oplossing voor de D.V. stel:

(440)\[\begin{align} y = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(441)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(442)\[\begin{align} (\lambda^2 Ce^{\lambda x}) -4 (\lambda Ce^{\lambda x}) +5 (Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (\lambda^2 -4 \lambda +5 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).

(443)\[\begin{align} \lambda^2 -4 \lambda +5 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(444)\[\begin{align} D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 16 -20 =-4 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(445)\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{4 \pm i\sqrt{4}}{2 \cdot 1}\\ \lambda_{1,2} &= \dfrac{4}{2} \pm i \dfrac{\sqrt{4}}{2} \\ \lambda_{1,2} &= 2 \pm i \end{align}\]

Hieruit volgt dat \(p=2\) en \(q=1\)

De waarde voor \(p\) en \(q\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y = e^{px}(C_1\cos(qx) + C_2\sin(qx)) \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align*}\]

(446)\[\begin{align} y = e^{2x}\left(C_1\cos\left(x\right) + C_2\sin \left( x \right)\right) \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align}\]

Oefening 6

Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} +2 \dfrac{dy}{dx} +3 y = 0 \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} +2 \dfrac{dy}{dx} +3 y = 0 \end{align*}\]

Als algemene oplossing voor de D.V. stel:

(447)\[\begin{align} y = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(448)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(449)\[\begin{align} (\lambda^2 Ce^{\lambda x}) +2 (\lambda Ce^{\lambda x}) +3 (Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (\lambda^2 +2 \lambda +3 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).

(450)\[\begin{align} \lambda^2 +2 \lambda +3 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(451)\[\begin{align} D = 2^2 - 4 \cdot 1 \cdot 3 = 4-12=-8 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(452)\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{-2 \pm i\sqrt{8}}{2 \cdot 1}\\ \lambda_{1,2} &= -\dfrac{2}{2} \pm i \dfrac{2\sqrt{2}}{2} \\ \lambda_{1,2} &= - 1\pm i \sqrt{2} \end{align}\]

Hieruit volgt dat \(p=-1\) en \(q=\sqrt{2}\)

De waarde voor \(p\) en \(q\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y = e^{px}(C_1\cos(qx) + C_2\sin(qx)) \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align*}\]

(453)\[\begin{align} y = e^{-x}\left(C_1\cos\left(\sqrt{2}x\right) + C_2\sin \left( \sqrt{2}x \right)\right) \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align}\]