4.4 Uitwerkingen

Opgave 4.1a

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y = C_1e^{-6 x} + C_2e^{3 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} + 3\dfrac{dy}{dx} - 18y = 0 \end{align*}\]

Als algemene oplossing voor de D.V. stel:

(640)\[\begin{align} y = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(641)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(642)\[\begin{align} \lambda^2 Ce^{\lambda x} + 3(\lambda Ce^{\lambda x}) - 18(Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (\lambda^2 +3\lambda-18 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(643)\[\begin{align} \lambda^2 +3\lambda-18 &= 0 \end{align}\]

De D is groter dan 0 dus,

(644)\[\begin{align} (\lambda +6)(\lambda -3) &= 0 \end{align}\]

dus \(\lambda_1 = -6\) en \(\lambda_2 = 3\)

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_2 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

(645)\[\begin{align} y = C_1e^{-6 x} + C_2e^{3 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 4.1b

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y = C_1e^{-2 x} + C_2e^{2 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} 2\dfrac{d^2y}{dx^2} - 8y = 0 \end{align*}\]

Als algemene oplossing voor de D.V. stel:

(646)\[\begin{align} y = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(647)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(648)\[\begin{align} 2\lambda^2 Ce^{\lambda x} - 8(Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (2\lambda^2 -8 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(649)\[\begin{align} 2\lambda^2 -8 &= 0 \end{align}\]

De D is groter dan 0 dus,

(650)\[\begin{align} \lambda^2 -4 &= 0 \\ (\lambda -2)(\lambda +2) &= 0 \end{align}\]

dus \(\lambda_1 = -2\) en \(\lambda_2 = 2\)

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_2 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

(651)\[\begin{align} y = C_1e^{-2 x} + C_2e^{2 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 4.1c

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y = e^{-\frac{1}{3}x}\left(C_1\cos\left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}x\right) + C_2\sin \left( \dfrac{\sqrt{2}}{3}x \right)\right) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} 3\dfrac{d^2y}{dx^2}+2\dfrac{dy}{dx} +y = 0 \end{align*}\]

Als algemene oplossing voor de D.V. stel:

(652)\[\begin{align} y = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(653)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(654)\[\begin{align} 3(\lambda^2 Ce^{\lambda x}) + 2(\lambda Ce^{\lambda x}) +(Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (3\lambda^2+ 2\lambda +1 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(655)\[\begin{align} 3\lambda^2 + 2\lambda +1 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(656)\[\begin{align} D = 2^2 - 4 \cdot 3 \cdot 1=4-12=-8 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(657)\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{-2 \pm i\sqrt{8}}{2 \cdot 3}\\ \lambda_{1,2} &= -\dfrac{2}{6} \pm \dfrac{\sqrt{8}}{6} \\ \lambda_{1,2} &= -\dfrac{1}{3} \pm \dfrac{\sqrt{2}}{3} \end{align}\]

Hieruit volgt dat \(p=-\dfrac{1}{3}\) en \(q=\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)

De waarde voor \(p\) en \(q\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y = e^{px}(C_1\cos(qx) + C_2\sin(qx)) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

(658)\[\begin{align} y = e^{-\frac{1}{3}x}\left(C_1\cos\left(\dfrac{\sqrt{2}}{3}x\right) + C_2\sin \left( \dfrac{\sqrt{2}}{3}x \right)\right) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 4.1d

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y = C_1e^{4x} + C_2xe^{4x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \\ y = (C_1 + C_2x)e^{4x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx}-8\dfrac{dy}{dx} +16y = 0 \end{align*}\]

Als algemene oplossing voor de D.V. stel:

(659)\[\begin{align} y = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(660)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(661)\[\begin{align} (\lambda^2 Ce^{\lambda x}) -8(\lambda Ce^{\lambda x}) +16(Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (\lambda^2-8\lambda +16 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(662)\[\begin{align} \lambda^2 -8\lambda +16 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(663)\[\begin{align} D = (-8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64-64=0 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(664)\[\begin{align} \lambda_{1} &= \dfrac{8 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}\\ \lambda_{1} &= \dfrac{8}{2} \\ \lambda_{1} &= 4 \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2xe^{\lambda_1 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

(665)\[\begin{align} y = C_1e^{4x} + C_2xe^{4x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \\ y = (C_1 + C_2x)e^{4x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 4.2a

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= e^{x}\left(C_1\cos\left(2x\right) + C_2\sin \left( 2x \right)\right) + \dfrac{3}{5}x + \dfrac{16}{25} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx}-2\dfrac{dy}{dx} +5y = 3x + 2 \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(666)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(667)\[\begin{align} \dfrac{d^2y}{dx^2}-2\dfrac{dy}{dx} +5y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(668)\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(669)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(670)\[\begin{align} (\lambda^2 Ce^{\lambda x}) -2(\lambda Ce^{\lambda x}) +5(Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (\lambda^2- 2\lambda +5 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(671)\[\begin{align} \lambda^2 - 2\lambda +5 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(672)\[\begin{align} D = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 4-20=-16 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(673)\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{2 \pm i\sqrt{16}}{2}\\ \lambda_{1,2} &= \dfrac{2}{2} \pm \dfrac{\sqrt{16}}{2}i \\ \lambda_{1,2} &= 1 \pm 2i \end{align}\]

Hieruit volgt dat \(p=1\) en \(q=2\)

De waarde voor \(p\) en \(q\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y_h = e^{px}(C_1\cos(qx) + C_2\sin(qx)) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

(674)\[\begin{align} y_h = e^{x}\left(C_1\cos\left(2x\right) + C_2\sin \left( 2x \right)\right) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.
Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(675)\[\begin{align} y_p = C_1x^2 + C_2x + C_3 \end{align}\]

Dus,

(676)\[\begin{align} \dfrac{dy_p}{dx} &= 2C_1x + C_2 \\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= 2C_1 \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(677)\[\begin{align} 2(C_1) - 2\cdot (2C_1x+C_2) + 5 \cdot (C_1x^2 + C_2x + C_3) &= 3x+2 \\ 2C_1-4C_1x -2C_2 + 5C_1x^2 + 5C_2x + 5C_3&= 3x+2\\ 5C_1x^2 +(-4C_1+5C_2)x + (2C_1 - 2C_2+5C_3) &= 3x+2 \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(678)\[\begin{align} 5C_1 &= 0 \\ -4C_1+5C_2 &= 3 \\ 2C_1-2C_2 + 5C_3 &= 2 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(679)\[\begin{align} C_1 = 0 \end{align}\]

\(C_1 \) invullen geeft:

(680)\[\begin{align} -4 \cdot 0 + 5C_2 &= 3\\ 0 + 5C_2 &= 3\\ C_2 &= \dfrac{3}{5} \end{align}\]

\(C_2 \) invullen geeft:

(681)\[\begin{align} 2 \cdot 0 -2 \cdot \dfrac{3}{5} + 5C_3 &= 2\\ \dfrac{-6}{5} + 5C_3 &= 2\\ 5C_3 &= 2 + \dfrac{6}{5} \\ 5C_3 &= \dfrac{16}{5} \\ C_3 &= \dfrac{16}{25} \end{align}\]

De waardes voor \(C_1\), \(C_2\) en \(C_3\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(682)\[\begin{align} y_p = \dfrac{3}{5}x + \dfrac{16}{25} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(683)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= e^{x}\left(C_1\cos\left(2x\right) + C_2\sin \left( 2x \right)\right) + \dfrac{3}{5}x + \dfrac{16}{25} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 4.2b

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= C_1e^{- x} + C_2e^{2 x} -\dfrac{3}{40}\sin(2x) + \dfrac{1}{40}\cos(2x) \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} 2\dfrac{d^2y}{dx^2}-2\dfrac{dy}{dx} -4y = \sin(2x) \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(684)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(685)\[\begin{align} 2\dfrac{d^2y}{dx^2}-2\dfrac{dy}{dx} -4y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(686)\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(687)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(688)\[\begin{align} 2(\lambda^2 Ce^{\lambda x}) -2(\lambda Ce^{\lambda x}) -4(Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (2\lambda^2- 2\lambda -4 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(689)\[\begin{align} 2\lambda^2 - 2\lambda -4 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(690)\[\begin{align} D = (-2)^2 - 4 \cdot 2 \cdot -4 = 4+32=36 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(691)\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{2 \pm \sqrt{36}}{2 \cdot 2}\\ \lambda_{1,2} &= \dfrac{2 \pm 6}{4}\\ \lambda_{1} = -1 &\vee \lambda_{2} = 2 \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y_h = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_2 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

(692)\[\begin{align} y_h = C_1e^{- x} + C_2e^{2 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.
Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(693)\[\begin{align} y_p = C_1\sin(2x) + C_2\cos(2x) \end{align}\]

Dus,

(694)\[\begin{align} \dfrac{dy_p}{dx} &= 2C_1\cos(2x) - 2C_2\sin(2x) \\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= -4C_1\sin(2x) - 4C_2\cos(2x) \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(695)\[\begin{align} 2 \cdot(-4C_1\sin(2x) - 4C_2\cos(2x)) - 2 \cdot (2C_1\cos(2x) - 2C_2\sin(2x)) - 4 \cdot (C_1\sin(2x) + C_2\cos(2x)) &= \sin(2x) \\ -8C_1\sin(2x) - 8C_2\cos(2x) - 4C_1\cos(2x) + 4C_2\sin(2x)) - 4C_1\sin(2x) - 4C_2\cos(2x) &= \sin(2x) \\ (-8C_1 - 4C_1 + 4C_2) \sin(2x) + (-4C_1-4C_2-8C_2)\cos(2x)) &= \sin(2x) \\ (-12C_1 + 4C_2) \sin(2x) + (-4C_1-12C_2)\cos(2x)) &= \sin(2x) \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(696)\[\begin{align} -12C_1 + 4C_2 &= 1 \\ -4C_1-12C_2 &= 0 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(697)\[\begin{align} -4C_1-12C_2 &= 0 \\ -4C_1 &= 12C_2 \\ C_1 &= -3C_2 \end{align}\]

\(C_1 \) invullen geeft:

(698)\[\begin{align} -12 \cdot -3C_2 + 4C_2 &= 1\\ 36C_2 + 4 C_2 &= 1\\ 40C_2 &= 1\\ C_2 &= \dfrac{1}{40} \end{align}\]

\(C_2 \) invullen geeft:

(699)\[\begin{align} C_1 &= -3C_2 \\ C_1 &= -3 \cdot \dfrac{1}{40}\\ C_1 &= - \dfrac{3}{40} \end{align}\]

De waardes voor \(C_1\), \(C_2\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(700)\[\begin{align} y_p = -\dfrac{3}{40}\sin(2x) + \dfrac{1}{40}\cos(2x) \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(701)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= C_1e^{- x} + C_2e^{2 x} -\dfrac{3}{40}\sin(2x) + \dfrac{1}{40}\cos(2x) \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 4.2c

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= C_1e^{-4x} + C_2xe^{-4x} + \dfrac{1}{36}e^{2x} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2}+8\dfrac{dy}{dx} +16y = e^{2x} \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(702)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(703)\[\begin{align} \dfrac{d^2y}{dx^2}+8\dfrac{dy}{dx} +16y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(704)\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(705)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(706)\[\begin{align} (\lambda^2 Ce^{\lambda x}) +8(\lambda Ce^{\lambda x}) +16(Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (\lambda^2+8\lambda +16 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(707)\[\begin{align} \lambda^2 +8\lambda +16 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(708)\[\begin{align} D = (8)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 64-64=0 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(709)\[\begin{align} \lambda_{1} &= \dfrac{-8 \pm \sqrt{0}}{2 \cdot 1}\\ \lambda_{1} &= \dfrac{-8}{2}\\ \lambda_{1} &= -4 \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y_h = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2xe^{\lambda_1 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

(710)\[\begin{align} y_h = C_1e^{-4 x} + C_2xe^{-4 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(711)\[\begin{align} y_p = C_1e^{2x} \end{align}\]

Dus,

(712)\[\begin{align} \dfrac{dy_p}{dx} &= 2C_1e^{2x} \\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= 4C_1e^{2x} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(713)\[\begin{align} 1 \cdot (4C_1e^{2x}) + 8 \cdot (2C_1e^{2x}) + 16 \cdot (C_1e^{2x}) &= e^{2x} \\ 4C_1e^{2x} + 16C_1e^{2x} + 16C_1e^{2x} &= e^{2x} \\ 36C_1e^{2x} &= e^{2x} \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(714)\[\begin{align} 36C_1 &= 1 \\ C_1 &= \dfrac{1}{36} \end{align}\]

De waardes voor \(C_1\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(715)\[\begin{align} y_p = \dfrac{1}{36}e^{2x} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(716)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= C_1e^{-4x} + C_2xe^{-4x} + \dfrac{1}{36}e^{2x} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 4.2d

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= C_1e^{-\dfrac{1}{2}x} + C_2e^{4x} -\dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{7}{8}x -\dfrac{57}{32} + \dfrac{1}{9}e^{4x}x \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} 2\dfrac{d^2y}{dx}-7\dfrac{dy}{dx} -4y = x^2 + e^{4x} \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(717)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(718)\[\begin{align} \dfrac{d^2y}{dx^2}-7\dfrac{dy}{dx} -4y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(719)\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(720)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(721)\[\begin{align} 2(\lambda^2 Ce^{\lambda x}) -7 (\lambda Ce^{\lambda x}) -4 (Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (2\lambda^2 -7 \lambda -4 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(722)\[\begin{align} 2\lambda^2 -7 \lambda -4 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(723)\[\begin{align} D = (-7)^2 - 4 \cdot 2 \cdot -4 = 49 + 32 = 81 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(724)\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{7 \pm \sqrt{81}}{2 \cdot 2}\\ \lambda_{1,2} &= \dfrac{7 \pm \sqrt{9}}{4} \end{align}\]

Hieruit volgt dat \(=\lambda_{1}= -\dfrac{1}{2} \) en \(\lambda_{2} = 4\)

De waarde voor \(\lambda_{1}\) en \(\lambda_{2}\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y_h = C_1e^{\lambda_{1}x} + C_2e^{\lambda_{2}x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

(725)\[\begin{align} y_h = C_1e^{-\dfrac{1}{2}x} + C_2e^{4x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.
Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(726)\[\begin{align} y_p = Ax^2 + Bx + D + Fe^{4x} \end{align}\]

(727)\[\begin{align} y_p = Ax^2 + Bx + D + Fe^{4x}x \end{align}\]

Dus,

(728)\[\begin{align} \dfrac{dy_p}{dx} &= 2Ax + B + Fe^{4x} + 4Fe^{4x}x \\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= 2A + 4Fe^{4x} + 4Fe^{4x} + 16Fe^{4x}x \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(729)\[\begin{align} 2(2A + 4Fe^{4x} + 4Fe^{4x} + 16Fe^{4x}x) - 7 \cdot (2Ax + B + Fe^{4x} + 4Fe^{4x}x) -4 \cdot (Ax^2 + Bx + D + Fe^{4x}x) &= x^2+e^{4x} \\ (4A + 8Fe^{4x} + 8Fe^{4x} + 32Fe^{4x}x) + (-14Ax + -7B - 7Fe^{4x} - 28Fe^{4x}x) + (-4Ax^2 -4Bx -4D -4Fe^{4x}x) &= x^2+e^{4x} \\ (4A + 16Fe^{4x} + 32Fe^{4x}x) + (-14Ax + -7B - 7Fe^{4x} - 28Fe^{4x}x) + (-4Ax^2 -4Bx -4D -4Fe^{4x}x) &= x^2+e^{4x} \\ -4Ax^2 + (-14A-4B)x + (4A-7B -4D) + 9Fe^{4x} &= x^2+e^{4x} \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(730)\[\begin{align} -4A &= 1 \\ -14A-4B &= 0 \\ 4A-7B-4D &= 0 \\ 9F = 1 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(731)\[\begin{align} A = -\dfrac{1}{4} \end{align}\]

\(A\) invullen geeft:

(732)\[\begin{align} -14 \cdot -\dfrac{1}{4} -4B= 0\\ \dfrac{14}{4} -4B= 0\\ -4B= \dfrac{14}{4} \\ B= \dfrac{14}{16} = \dfrac{7}{8} \end{align}\]

\(A\) en \(B\) invullen geeft:

(733)\[\begin{align} 4 \cdot -\dfrac{1}{4} -7 \cdot \dfrac{7}{8} -4D &= 0\\ -1 -\cdot \dfrac{49}{8} -4D &= 0\\ -4D &= 1 +\cdot \dfrac{49}{8} \\ -4D &= \dfrac{57}{8} \\ D &= -\dfrac{57}{32} \end{align}\]

Hieruit volgt:

(734)\[\begin{align} F = \dfrac{1}{9} \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) en \(D\) en \(F\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(735)\[\begin{align} y_p = -\dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{7}{8}x -\dfrac{57}{32} + \dfrac{1}{9}e^{4x}x \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(736)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= C_1e^{-\dfrac{1}{2}x} + C_2e^{4x} -\dfrac{1}{4}x^2 + \dfrac{7}{8}x -\dfrac{57}{32} + \dfrac{1}{9}e^{4x}x \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 4.3a

Antwoord

De gevraagde oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= - \dfrac{72}{4}e^{\dfrac{1}{3}x} + \dfrac{1}{4}e^{2x} + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{11}{2}x +\dfrac{71}{4} \end{align*}\]

Uitwerking

Los de volgende differentiaalvergelijking met aanvullende voorwaarden exact op.

\[\begin{align*} 3\dfrac{d^2y}{dx^2} - 7\dfrac{dy}{dx} + 2y = x^2 + 4x \qquad \text{ met } y(0)=0, y'(0)=0 \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(737)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(738)\[\begin{align} 3\dfrac{d^2y}{dx^2}-7\dfrac{dy}{dx} +2y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(739)\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(740)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(741)\[\begin{align} 3(\lambda^2 Ce^{\lambda x}) -7 (\lambda Ce^{\lambda x}) +2 (Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (3\lambda^2 -7 \lambda +2 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(742)\[\begin{align} 3\lambda^2 -7 \lambda +2 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(743)\[\begin{align} D = (-7)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 2 = 49 + 24 = 25 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(744)\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{7 \pm \sqrt{25}}{2 \cdot 6}\\ \lambda_{1,2} &= \dfrac{7 \pm 5}{6} \end{align}\]

Hieruit volgt dat \(=\lambda_{1}= \dfrac{1}{3} \) en \(\lambda_{2} = 2\)

De waarde voor \(\lambda_{1}\) en \(\lambda_{2}\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y_h = C_1e^{\lambda_{1}x} + C_2e^{\lambda_{2}x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

(745)\[\begin{align} y_h = C_1e^{\dfrac{1}{3}x} + C_2e^{2x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(746)\[\begin{align} y_p = Ax^2 + Bx + D \end{align}\]

(747)\[\begin{align} y_p = Ax^2 + Bx + D \end{align}\]

Dus,

(748)\[\begin{align} \dfrac{dy_p}{dx} &= 2Ax + B \\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= 2A \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(749)\[\begin{align} 3(2A) - 7 \cdot (2Ax + B ) +2 \cdot (Ax^2 + Bx + D) &= x^2+4x \\ (6A) + (-14Ax - 7B ) + (2Ax^2 + 2Bx + 2D) &= x^2+4x \\ 2Ax^2 + (-14A + 2B)x + (6A-7B+2D)&= x^2+4x \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(750)\[\begin{align} 2A &= 1 \\ -14A + 2B &= 4 \\ 6A-7B+2D &= 0 \\ \end{align}\]

Hieruit volgt:

(751)\[\begin{align} A = \dfrac{1}{2} \end{align}\]

\(A\) invullen geeft:

(752)\[\begin{align} -14 \cdot \dfrac{1}{2} +2B= 4\\ -\dfrac{14}{2} +2B= 4\\ 2B= 4+ \dfrac{14}{2} \\ 2B= \dfrac{8}{2} + \dfrac{14}{2} \\ B= \dfrac{22}{4} = \dfrac{11}{2} \end{align}\]

\(A\) en \(B\) invullen geeft:

(753)\[\begin{align} 6 \cdot \dfrac{1}{2} -7 \cdot \dfrac{11}{2} +2D &= 0\\ 3 -\cdot \dfrac{77}{2} +2D &= 0\\ 2D &= -3 +\cdot \dfrac{77}{2} \\ 2D &= -\dfrac{6}{2} + \dfrac{77}{2} \\ 2D &= \dfrac{71}{2} D &= \dfrac{71}{4} \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) en \(D\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(754)\[\begin{align} y_p = \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{11}{2}x +\dfrac{71}{4} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(755)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= C_1e^{\dfrac{1}{3}x} + C_2e^{2x} + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{11}{2}x +\dfrac{71}{4} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om \(C_1\) en \(C_2\) te bepalen. \(y(0) = 0\) en \(y'(0) = 0\)

Dus invullen voor \(y(0) = 0\) geeft:

(756)\[\begin{align} y &= C_1e^{\dfrac{1}{3}x} + C_2e^{2x} + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{11}{2}x +\dfrac{71}{4} \\ 0 &= C_1e^{\dfrac{1}{3}\cdot0} + C_2e^{2\cdot0} + \dfrac{1}{2} \cdot 0^2 + \dfrac{11}{2} \cdot 0 +\dfrac{71}{4} \\ 0 &= C_1 + C_2 + \dfrac{71}{4} \end{align}\]

Hieruit volgt:

(757)\[\begin{align} C_1 = - C_2 - \dfrac{71}{4} \end{align}\]

Dus \(C_1\) invullen voor \(y'(0) = 0\) geeft:

(758)\[\begin{align} y' &= \dfrac{1}{3}C_1e^{\dfrac{1}{3}x} + 2C_2e^{2x} + x + \dfrac{11}{2} \\ 0 &= \dfrac{1}{3}C_1e^{\dfrac{1}{3}\cdot0} + 2C_2e^{2\cdot0} + 0 + \dfrac{11}{2} \\ 0 &= \dfrac{1}{3} (- C_2 - \dfrac{71}{4}) + 2C_2 + \dfrac{11}{2} \end{align}\]

Hieruit volgt:

(759)\[\begin{align} 0 &= -\dfrac{1}{3}C_2 - \dfrac{1}{3} \cdot \dfrac{71}{4}) + 2C_2 + \dfrac{11}{2} \\ 0 &= -\dfrac{1}{3}C_2 - \dfrac{71}{12} + 2C_2 + \dfrac{11}{2} \\ 0 &= -\dfrac{1}{3}C_2 + 2C_2 - \dfrac{71}{12} + \dfrac{11}{2} \\ 0 &= \dfrac{5}{3}C_2 - \dfrac{5}{12} \\ \dfrac{5}{3}C_2 &= \dfrac{5}{12} \\ C_2 &= \dfrac{3}{12} = \dfrac{1}{4} \end{align}\]

\(C_2\) invullen geeft:

(760)\[\begin{align} C_1 = - \dfrac{1}{4} - \dfrac{71}{4} C_1 = - \dfrac{72}{4} \end{align}\]

Dus \(C_1\) en \(C_2\) invullen in de totale oplossing geeft:

(761)\[\begin{align} y &= - \dfrac{72}{4}e^{\dfrac{1}{3}x} + \dfrac{1}{4}e^{2x} + \dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{11}{2}x +\dfrac{71}{4} \end{align}\]

Opgave 4.3b

Antwoord

De gevraagde oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= e^{-x}(\dfrac{43}{24}\cos(2x) + \dfrac{67}{24}\sin ( 2x ) ) + \dfrac{5}{24}e^{x} \end{align*}\]

Uitwerking

Los de volgende differentiaalvergelijking met aanvullende voorwaarden exact op.

\[\begin{align*} 3\dfrac{d^2y}{dx^2} + 6\dfrac{dy}{dx} + 15y = 5e^x \qquad \text{ met } y(0)=2, y'(0)=4 \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(762)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(763)\[\begin{align} 3\dfrac{d^2y}{dx^2}+6\dfrac{dy}{dx} +15y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(764)\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(765)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(766)\[\begin{align} 3(\lambda^2 Ce^{\lambda x}) +6(\lambda Ce^{\lambda x}) +15(Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (3\lambda^2+6\lambda +15 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(767)\[\begin{align} 3\lambda^2 +6\lambda +15 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(768)\[\begin{align} D = (6)^2 - 4 \cdot 3 \cdot 15 = 36 - 180 = -144 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(769)\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{-6 \pm i\sqrt{144}}{2 \cdot 3}\\ \lambda_{1,2} &= \dfrac{-6 \pm 12i}{6}\\ \lambda_{1,2} &= -1 \pm 2i \end{align}\]

Hieruit volgt dat \(p=-1\) en \(q=2\)

De waarde voor \(p\) en \(q\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y = e^{px}(C_1\cos(qx) + C_2\sin(qx)) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

(770)\[\begin{align} y = e^{-x}(C_1\cos(2x) + C_2\sin ( 2x ) ) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(771)\[\begin{align} y_p = C_1e^{x} \end{align}\]

Dus,

(772)\[\begin{align} \dfrac{dy_p}{dx} &= C_1e^{x} \\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= C_1e^{x} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(773)\[\begin{align} 3 \cdot (C_1e^{x}) + 6 \cdot (C_1e^{x}) + 15 \cdot (C_1e^{x}) &= 5e^{x} \\ 3C_1e^{x} + 6C_1e^{x} + 15C_1e^{x} &= 5e^{x} \\ 24C_1e^{x} &= 5e^{x} \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(774)\[\begin{align} 24C_1 &= 5 \\ C_1 &= \dfrac{5}{24} \end{align}\]

De waardes voor \(C_1\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(775)\[\begin{align} y_p = \dfrac{5}{24}e^{x} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(776)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= e^{-x}(C_1\cos(2x) + C_2\sin ( 2x ) ) + \dfrac{5}{24}e^{x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om \(C_1\) en \(C_2\) te bepalen. \(y(0) = 2\) en \(y'(0) = 4\)

Dus invullen voor \(y(0) = 2\) geeft:

(777)\[\begin{align} y &= e^{-x}(C_1\cos(2x) + C_2\sin ( 2x ) ) + \dfrac{5}{24}e^{x} \\ 2 &= e^{-0}(C_1\cos(2\cdot 0) + C_2\sin ( 2\cdot0 ) ) + \dfrac{5}{24}e^{0}\\ 2 &= C_1 + \dfrac{5}{24} \\ C_1 &= \dfrac{43}{24} \end{align}\]

Hieruit volgt:

(778)\[\begin{align} C_1 = \dfrac{43}{24} \end{align}\]

Dus \(C_1\) invullen voor \(y'(0) = 4\) geeft:

(779)\[\begin{align} y' &= -e^{-x}(C_1\cos(2x) + C_2\sin ( 2x ) ) + e^{-x}(-2C_1\sin(2x) + 2C_2\cos ( 2x ) ) + \dfrac{5}{24}e^{x}\\ 4 &= -e^{-0}(C_1\cos(0) + C_2\sin ( 0 ) ) + e^{-0}(2C_1\cos(0) - 2C_2\sin ( 0 ) ) + \dfrac{5}{24}e^{0} \\ 4 &= -C_1 + 2C_2 + \dfrac{5}{24} \\ 4 &= -\dfrac{43}{24} + 2C_2 + \dfrac{5}{24} \\ 2C_2 &= \dfrac{96}{24} + \dfrac{38}{24} \\ 2C_2 &= \dfrac{134}{24} \\ C_2 &= \dfrac{67}{24} \end{align}\]

Dus \(C_1\) en \(C_2\) invullen in de totale oplossing geeft:

(780)\[\begin{align} y &= e^{-x}(\dfrac{43}{24}\cos(2x) + \dfrac{67}{24}\sin ( 2x ) ) + \dfrac{5}{24}e^{x} \end{align}\]