2425 - DIFVER-T1: Opgaven

Opgave 1 (2 punten)

Gegeven is de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \cos(2t)\dfrac{d^2x}{dt^2} - 5t^2\dfrac{d^5x}{dt^5} + \dfrac{d^3x}{dt^3} = 3\dfrac{dx}{dt} - \dfrac{x}{t^2} + e^{3t} \end{align*}\]

Wat is de orde van de differentiaalvergelijking? Leg je antwoord uit.

Opgave 2 (3 punten)

Gegeven is de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} e^{5x}\dfrac{d^3y}{dx^3} - 5x^2\dfrac{d^5y}{dx^5} + \dfrac{d^2y}{dx^2} = cos(4x)\dfrac{dy}{dx} - \dfrac{y}{x^2} + 3x \end{align*}\]

Is deze differentiaalvergelijking lineair? Zo ja, is de differentiaalvergelijking homogeen of inhomogeen? Leg je antwoord uit.

Opgave 3 (8 punten)

Gegeven is de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} (x-5)\dfrac{dy}{dx}= 2(y-3) \end{align*}\]

Los de differentiaalvergelijking exact op.

Opgave 4 (6 punten)

Gegeven is de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{4^x}{y^2} \end{align*}\]

Los de differentiaalvergelijking exact op.

Opgave 5 (11 punten)

Gegeven is de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} 7\dfrac{dy}{dx} + 6y = 8 \cos(3x) \end{align*}\]

Los de differentiaalvergelijking exact op.

Opgave 6 (11 punten)

Gegeven is de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} 2\dfrac{d^2y}{dx^2}+10y = e^{4x}+1 \end{align*}\]

Los de differentiaalvergelijking exact op.

Opgave 7 (17 punten)

In een RL-kring zijn een spanningsbron, een weerstand en een spoel in serie geschakeld.

Bepaal, met behulp van de tweede wet van Kirchhoff, de formule voor \(I(t)\) als gegeven is dat:\ \ \(R = 20\) \(\Omega\), \quad \(L = 2\) \(H\), \quad \(U (t) = 30 \sin(t)\) \(V\), \quad \(I (0) = 2\) \(A\).

Opgave 8 (10 punten)

Een massa wordt aan een veer gehangen, wanneer de veer tot rust gekomen is, wordt de veer ten opzichte van de evenwichtspositie 0,05 m uitgetrokken naar beneden.

Stel dat de massa wordt losgelaten op \(t = 0s\). Vind met behulp van een differentiaalvergelijking een formule voor uitwijking \(u(t)\) van de massa in meters ten opzichte van de evenwichtspositie als functie van de tijd \(t\) in seconden. Neem naar beneden de positieve richting van de uitrekking. Neem aan dat op de massa alleen de zwaartekracht en de veerkracht werken, de wrijvingskracht mag verwaarloosd worden. Gebruik de tweede wet van Newton \(F = m \cdot a \) en de volgende gegevens:

\begin{enumerate} \item veerconstante \(c = 640\) \(N/m\) \item massa \(m = 10\) \(kg\) \item gravitatieconstante \(g = 9.81\) \(m/s^2\) \item \(v(t) = 0\) \(m/s\) \end{enumerate}