5.5 Uitwerkingen#
Opgave 5.1a#
Antwoord
De stroomsterkte \(I(t)\), in een RC-netwerk is:
Uitwerking
Bepaal de stroomsterkte \(I(t)\) in een RC-netwerk als de volgende parameters zijn gegeven:
\(R = 100\)\(\Omega\), \(C =0.1\)F, \(U(t)=250\)V en \(I(0)=1.0\)A
Voor een RC-kring geldt:
Beide zijdes differenti”eren geeft de gevraagde DV.:
De gegevens invullen in de DV geeft:
De homogene D.V. wordt:
Als oplossing voor de homogene D.V. stel:
Invullen in de D.V. geeft:
De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,
De waarde voor \(\lambda\) invullen in de homogene oplossing geeft;
De gegeven voorwaarden gebruiken om C te bepalen. \(I(0) = 1\)
Dus invullen geeft:
Hieruit volgt:
Dus C invullen in de totale oplossing geeft:
Opgave 5.1b#
Antwoord
De stroomsterkte \(I(t)\), in een RC-netwerk is:
Uitwerking
Bepaal de stroomsterkte \(I(t)\) in een RC-netwerk als de volgende parameters zijn gegeven:
\(R = 20\)\(\Omega\), \(C =0.2\)F, \(U(t)=100\cos(t)\)V en \(I(0)=2.0\)A
Voor een RC-kring geldt:
Beide zijdes differenti”eren geeft de gevraagde DV.:
De gegevens invullen in de DV geeft:
De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.
De homogene D.V. wordt:
Als oplossing voor de homogene D.V. stel:
Invullen in de D.V. geeft:
De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,
De waarde voor \(\lambda \) invullen in de homogene oplossing geeft;
Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.
Als vorm voor de particuliere oplossing stel:
Invullen in de D.V. geeft:
De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:
Hieruit volgt:
\(C_1 \) invullen geeft:
\(C_2 \) invullen geeft:
De waardes voor \(C_1\), \(C_2\) invullen in de particuliere oplossing geeft:
De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.
De gegeven voorwaarden gebruiken om C te bepalen. \(I(0) = 2\)
Dus invullen geeft:
Hieruit volgt:
Dus C invullen in de totale oplossing geeft:
Opgave 5.2a#
Antwoord
Na 20 minuten is de koffie ongeveer 40.38 \(^{\circ}\) C
Uitwerking
Een kop met koffie van 80\(^{\circ}\) C wordt in een ruimte gezet waar het 20\(^{\circ}\)C is. In 10 minuten koelt de koffie 25\(^{\circ}\) graden af.
Hoe warm is de koffie na 20 minuten?
Voor de afkoelingswet geldt:
Dit kan omgeschreven worden naar de volgende DV;
De homogene D.V. wordt:
Als oplossing voor de homogene D.V. stel:
Invullen in de D.V. geeft:
De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,
De waarde voor \(\lambda\) invullen in de homogene oplossing geeft;
Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.
Als vorm voor de particuliere oplossing stel:
Invullen in de D.V. geeft:
De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:
De waarde voor \(A\) invullen in de particuliere oplossing geeft:
De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.
De gegeven voorwaarden gebruiken om C te bepalen. \(T(0) = 80\)
Dus invullen geeft:
Dus C invullen in de totale oplossing geeft:
De gegeven voorwaarden gebruiken om k te bepalen. \(T(10) = 80-25\) Dus invullen geeft:
Dus k invullen in de totale oplossing geeft:
Hoe warm is de koffie na 20 minuten?
Na 20 minuten is de koffie ongeveer 40.38 \(^{\circ}\) C
Opgave 5.2b#
Antwoord
Na 33.18 minuten is de koffie nog maar 30\(^{\circ}\)C.
Uitwerking
Na hoeveel tijd is de koffie nog maar 30\(^{\circ}\)C?
Na 33.18 minuten is de koffie nog maar 30\(^{\circ}\)C.
Opgave 5.3a#
Antwoord
de bijbehorende differentiaalvergelijking in een RL-netwerk is:
Uitwerking
In een RL-netwerk zijn een spanningsbron, een weerstand en een spoel met zelfinductie L in serie geschakeld.
Stel met behulp van de tweede wet van Kirchhoff de bijbehorende differentiaalvergelijking op.
Voor een RL-kring geldt:
De wet van Ohm geeft de spanning over de weerstand:
De spanning over de speol wordt gegeven door:
Er geldt dus:
Differentiëren van de vergelijking is niet nodig, de gewenste differentiaalvergelijking hebben we al:
Opgave 5.3b#
Antwoord
De stroomsterkte \(I(t)\), in een RL-netwerk is:
Uitwerking
Bepaal de formule voor \(I(t)\) als gegeven is dat: \(R = 10Ω\), \(L = 0.5\)H, \(U (t) = 50 \sin(t)\)V , \(I (0) = 0\)A.
Invullen van de getallen geeft:
De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.
De homogene D.V. wordt:
Als oplossing voor de homogene D.V. stel:
Invullen in de D.V. geeft:
De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,
De waarde voor \(\lambda \) invullen in de homogene oplossing geeft;
Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:
Invullen in de D.V. geeft:
De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:
Hieruit volgt:
\(C_2 \) invullen geeft:
\(C_1 \) invullen geeft:
De waardes voor \(C_1\), \(C_2\) invullen in de particuliere oplossing geeft:
De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.
De gegeven voorwaarden gebruiken om C te bepalen. \(I(0) = 0\)
Dus invullen geeft:
Hieruit volgt:
Dus C invullen in de totale oplossing geeft:
Opgave 5.4a#
Antwoord
De formule voor de snelheid \(v(t)\) van de kogel is:
Uitwerking
Een kogel met massa \(0.2kg\) valt vrij door de lucht. Op \(t = 0\) wordt de kogel losgelaten. Neem voor de gravitatieconstante \(g = 9.81m/s^2\).
Neem aan dat de luchtweerstand \(F_w\) evenredig is met de valsnelheid. De evenredigheidsconstante \(k = 0.1\)Ns/m. Bepaal de formule voor de snelheid \(v\) van de kogel als functie van de tijd \(t\).
Voor een losgelaten kogel geldt:
Schrijf de versnelling \(a\) als afgeleide van de snelheid \(v\) en herschrijf:
De gegevens invullen in de DV geeft:
De homogene D.V. wordt:
Als oplossing voor de homogene D.V. stel:
Invullen in de D.V. geeft:
De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,
De waarde voor \(\lambda \) invullen in de homogene oplossing geeft;
Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.
Als vorm voor de particuliere oplossing stel:
Invullen in de D.V. geeft:
Hieruit volgt:
De waardes voor \(C_1\) invullen in de particuliere oplossing geeft:
De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.
De gegeven voorwaarden gebruiken om C te bepalen. \(V(0) = 0\)
Dus invullen geeft:
Hieruit volgt:
Dus C invullen in de totale oplossing geeft:
Opgave 5.4b#
Antwoord
De eindsnelheid van de kogel is \(19.62\) m/s
Uitwerking
Wat is in dit geval de eindsnelheid van de kogel?
Dus de eindsnelheid van de kogel is:
als \(t\) naar \(\infty\) nadert dan gaat \(V\) naar 19.62 m/s