3.6 Uitwerkingen les 3

3.6 Uitwerkingen les 3#

Opgave 1#

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= C \cdot e^{-6x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]
Uitwerking
\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} + 6y \\ \dfrac{dy}{dx} = -6y\\ \end{align*}\]

Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.

(1094)#\[\begin{align} \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx} &= -6 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(1095)#\[\begin{align} \int \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx} dx &= \int -6 dx \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).

(1096)#\[\begin{align} \int \dfrac{1}{y} dy &= \int -6 dx \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De primitieven nemen van beide kanten.

(1097)#\[\begin{align} \ln|y| + C_1 &= -6x + C_2 \qquad {\color{blue} \text{(2p)}}\\ \ln|y| &= -6x + C_3\\ e^{\ln|y|} &= e^{-6x + C_3}\\ |y| &= e^{-6x + C_3}\\ |y| &= e^{-6x} \cdot e^{C_3}\\ y &= \pm e^{-6x} \cdot e^{C_3} \end{align}\]

y=0 voldoet aan de dv dus,

(1098)#\[\begin{align} y &= C \cdot e^{-6x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Opgave 2#

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= C \cdot e^{13x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]
Uitwerking
\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} - 13y \\ \dfrac{dy}{dx} = 13y\\ \end{align*}\]

Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.

(1099)#\[\begin{align} \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx} &= 13 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(1100)#\[\begin{align} \int \dfrac{1}{y}\dfrac{dy}{dx} dx &= \int 13 dx \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).

(1101)#\[\begin{align} \int \dfrac{1}{y} dy &= \int 13 dx \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De primitieven nemen van beide kanten.

(1102)#\[\begin{align} \ln|y| + C_1 &= 13x + C_2 \qquad {\color{blue} \text{(2p)}}\\ \ln|y| &= 13x + C_3\\ e^{\ln|y|} &= e^{13x + C_3}\\ |y| &= e^{13x + C_3}\\ |y| &= e^{13x} \cdot e^{C_3}\\ y &= \pm e^{13x} \cdot e^{C_3} \end{align}\]

y=0 voldoet aan de dv dus,

(1103)#\[\begin{align} y &= C \cdot e^{13x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Opgave 3#

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= C \cdot e^{2x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]
Uitwerking
\[\begin{align*} 3\dfrac{dy}{dx} - 6y \\ 3\dfrac{dy}{dx} = 6y\\ \end{align*}\]

Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.

(1104)#\[\begin{align} \dfrac{3}{y}\dfrac{dy}{dx} &= 6 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(1105)#\[\begin{align} \int \dfrac{3}{y}\dfrac{dy}{dx} dx &= \int 6 dx \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).

(1106)#\[\begin{align} \int \dfrac{3}{y} dy &= \int 6 dx \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De primitieven nemen van beide kanten.

(1107)#\[\begin{align} 3\ln|y| + C_1 &= 6x + C_2 \qquad {\color{blue} \text{(2p)}}\\ 3 \ln|y| &= 6x + C_3\\ e^{\ln|y|} &= e^{2x + C_3}\\ |y| &= e^{2x + C_3}\\ |y| &= e^{2x} \cdot e^{C_3}\\ y &= \pm e^{2x} \cdot e^{C_3} \end{align}\]

y=0 voldoet aan de dv dus,

(1108)#\[\begin{align} y &= C \cdot e^{2x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Opgave 4#

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= Ce^{7x} - \dfrac{2}{7}x^2 - \dfrac{32}{49}x - \dfrac{32}{343} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]
Uitwerking
\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} - 7y = 2x^2 + 4x \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1109)#\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1110)#\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} - 7y = 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(1111)#\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1112)#\[\begin{align} \lambda \cdot Ce^{\lambda x} -7 \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\ (\lambda -7 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).

Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:

(1113)#\[\begin{align} \lambda -7 &= 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \\ \lambda &= 7 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda =7\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(1114)#\[\begin{align} y_h = Ce^{7x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(1115)#\[\begin{align} y_p = Ax^2 + Bx + D \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Dus,

(1116)#\[\begin{align} \dfrac{dy_p}{dx} = 2Ax + B \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1117)#\[\begin{align} (2Ax +B) - 7 \cdot (Ax^2 + Bx + D) &= 2x^2 + 4x \\ (2Ax +B) - 7Ax^2 - 7Bx - 7D&= 2x^2+ 4x \\ 7Ax^2 +(2A-7B)x + (B-7D) &= 2x^2 + 4x \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(1118)#\[\begin{align} -7A &= 2 \\ 2A-7B &= 4 \\ B - 7D &= 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1119)#\[\begin{align} A = -\dfrac{2}{7} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

\(A \) invullen geeft:

(1120)#\[\begin{align} 2 \cdot -\dfrac{2}{7} - 7B &= 0\\ -\dfrac{4}{7} - 7B &= 4\\ -7B &= 4 + \dfrac{4}{7}\\ -7B &= \dfrac{32}{7}\\ B &= -\dfrac{32}{49} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

\(B \) invullen geeft:

(1121)#\[\begin{align} -\dfrac{32}{49} - 7D &= 0\\ 7D &= -\dfrac{32}{49} \\ D &= -\dfrac{32}{343} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) en \(D\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(1122)#\[\begin{align} y_p = -\dfrac{2}{7}x^2 - \dfrac{32}{49}x - \dfrac{32}{343} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1123)#\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= Ce^{7x} - \dfrac{2}{7}x^2 - \dfrac{32}{49}x - \dfrac{32}{343} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Opgave 5#

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= Ce^{-3x} + \dfrac{4}{3} e^{-3x} x \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]
Uitwerking
\[\begin{align*} 3\dfrac{dy}{dx} +9y &= 4e^{-3x} \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1124)#\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1125)#\[\begin{align} 3\dfrac{dy}{dx} + 9y = 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(1126)#\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1127)#\[\begin{align} 3 \lambda \cdot Ce^{\lambda x} +9 \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\ (3\lambda +9 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus.

Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:

(1128)#\[\begin{align} 3\lambda + 9 &= 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}}\\ 3\lambda &= -9\\ \lambda &= -\dfrac{9}{3} = -3 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda =-3\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(1129)#\[\begin{align} y_h = Ce^{-3x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(1130)#\[\begin{align} y_p = Ae^{-3x} \end{align}\]

Gelijk aan homogene oplossing dus kies,

(1131)#\[\begin{align} y_p = Ae^{-3x} \cdot x \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Dus,

(1132)#\[\begin{align} \dfrac{dy_p}{dx} = -3Ae^{-3x} \cdot x + Ae^{-3x} \cdot 1 \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1133)#\[\begin{align} 3 ( -3Ae^{-3x}x + Ae^{-3x} \cdot 1) + 9 ( Ae^{-3x}x) = 4e^{-3x} \\ -9Ae^{-3x}x + 3Ae^{-3x} + 9Ae^{-3x}x = 4e^{-3x}\\ 3Ae^{-3x} = 4e^{-3x} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De coëefficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(1134)#\[\begin{align} 3A &= 4 \\ A &= \dfrac{4}{3} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waarde voor \(A\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(1135)#\[\begin{align} y_p = \dfrac{4}{3} e^{-3x} x \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1136)#\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= Ce^{-3x} + \dfrac{4}{3} e^{-3x} x \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Opgave 6#

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= Ce^{\dfrac{5}{3}x} -\dfrac{5}{106}\sin(x) -\dfrac{9}{106}\cos(x) - \dfrac{2}{5} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]
Uitwerking
\[\begin{align*} 3\dfrac{dy}{dx} - 5y &= 2 + \sin(3x)\\ \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1137)#\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(1138)#\[\begin{align} 3\dfrac{dy}{dx} - 5y = 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(1139)#\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1140)#\[\begin{align} 3\lambda \cdot Ce^{\lambda x} -5 \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\ (3\lambda -5 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).

Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:

(1141)#\[\begin{align} 3\lambda -5 &= 0 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \\ 3\lambda &= 5 \\ \lambda &= \dfrac{5}{3} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda =\dfrac{5}{3}\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(1142)#\[\begin{align} y_h = Ce^{\dfrac{5}{3}x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(1143)#\[\begin{align} y_p = A\sin(3x) + B\cos(3x) + D \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Dus,

(1144)#\[\begin{align} \dfrac{dy_p}{dx} = 3A\cos(x) - 3B\sin(x) \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(1145)#\[\begin{align} 3(3A\cos(x) - 3B\sin(x)) - 5( A\sin(3x) + B\cos(3x) + D) &= 2 + \sin(3x) \\ 9A\cos(3x) - 9B\sin(3x) - 5A\sin(3x) - 5B\cos(3x) - 5D &= 2+ \sin(3x) \\ (-9B-5A)\sin(x) + (9A-5B)\cos(x) - 5D &= 2 + \sin(3x) \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(1146)#\[\begin{align} -9B-5A &= 1 \\ 9A-5B &= 0 \\ -5D &= 2 \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1147)#\[\begin{align} D = -\dfrac{2}{5} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

Hieruit volgt:

(1148)#\[\begin{align} B = \dfrac{9}{5}A \end{align}\]

\(B \) invullen geeft:

(1149)#\[\begin{align} -9(\dfrac{9}{5}A) - 5A &= 1\\ -\dfrac{81}{5}A - \dfrac{25}{5}A &= 1\\ -\dfrac{81}{5}A - \dfrac{25}{5}A &= 1\\ -\dfrac{106}{5}A &= 1\\ A &= -\dfrac{5}{106} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

\(A \) invullen geeft:

(1150)#\[\begin{align} B &= \dfrac{9}{5}A \\ B &= \dfrac{9}{5}\cdot -\dfrac{5}{106} \\ B &= -\dfrac{9}{106} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(1151)#\[\begin{align} y_p = -\dfrac{5}{106}\sin(x) -\dfrac{9}{106}\cos(x) - \dfrac{2}{5} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(1152)#\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= Ce^{\dfrac{5}{3}x} -\dfrac{5}{106}\sin(x) -\dfrac{9}{106}\cos(x) - \dfrac{2}{5} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \qquad {\color{blue} \text{(1p)}} \end{align}\]
Contents