5.3 Mechanisch-systeem

Voorbeeld 1: Vrije val

Bepaal de formule voor de snelheid, \(v\) van de parachutist als functie van de tijd, voordat zijn parachuut is uitgeklapt, als de volgende parameters zijn gegeven:

Een parachutist met een massa van \(m = 60 kg\) springt met een beginsnelheid van \(2 m/s\) uit een vliegtuig. Neem aan dat de luchtweerstand \(F_w\) evenredig is met de valsnelheid. De evenredigheidsconstante \(k=20 Ns/m\). Neem voor de gravitatieconstante \(g=9.81\) \(m/s^2\)

Volgens de tweede wet van Newton geldt:

(973)\[\begin{align} F_{res} &= F_z - F_w\\ m \cdot a &= m \cdot g - k \cdot v\\ a &= g - \dfrac{k}{m} \cdot v \end{align}\]

Dit kan omgeschreven worden naar de volgende DV;

(974)\[\begin{align} \dfrac{dV}{dt} &= g - \dfrac{k}{m} \cdot v \\ \dfrac{dV}{dt} + \dfrac{k}{m} \cdot v &= g \\ \dfrac{dV}{dt} + \dfrac{20}{60} \cdot v &= 9.81 \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(975)\[\begin{align} \dfrac{dV}{dt} + \dfrac{1}{3} \cdot v &= 0 \\ \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(976)\[\begin{align} V_h = Ce^{\lambda t} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(977)\[\begin{align} \lambda \cdot Ce^{\lambda t} + \dfrac{1}{3}\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \\ (\lambda +\dfrac{1}{3} )\cdot Ce^{\lambda t} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda t} \neq 0 \) dus,

(978)\[\begin{align} \lambda + \dfrac{1}{3} &= 0 \\ \lambda &= -\dfrac{1}{3} \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(979)\[\begin{align} V_h = Ce^{-\dfrac{1}{3}t} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.

Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(980)\[\begin{align} V_p &= A \\ V_p' &= 0 \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(981)\[\begin{align} 1 \cdot ( 0 ) + \dfrac{1}{3} ( A ) &= 9.81 \\ \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(982)\[\begin{align} \dfrac{1}{3}A &= 9.81 \\ A &= 9.81 \cdot 3 \\ A &= 29.43 \end{align}\]

De waarde voor \(A\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(983)\[\begin{align} V_p = 29.43 \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(984)\[\begin{align} V &= V_h + V_p \\ V &= Ce^{-\dfrac{1}{3}t} + 29.43 \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om C te bepalen. \(V(0) = 2\)

Dus invullen geeft:

(985)\[\begin{align} 2 &= Ce^{-\dfrac{1}{3} \cdot 0} + 29.43 \\ 2 &= C \cdot 1 + 29.43 \\ C &= 2 - 29.43 \\ C &= -27.43 \end{align}\]

Dus C invullen in de totale oplossing geeft:

(986)\[\begin{align} V &= -27.43e^{-\dfrac{1}{3}t} + 29.43 \end{align}\]

Met deze formule kan nu de snelheid van de parachutist na een bepaalde tijd berekent worden of de tijd kan berekent worden wanneer de parachutist een bepaalde snelheid zal hebben.