2.2 Voorwaarden

Theorie

Om scheiden van variabelen te kunnen toepassen moeten de functie en variabele van elkaar gescheiden kunnen worden.

Een differentiaalvergelijking die in de volgende vorm geschreven kan worden kan worden opgelost met scheiden van variabelen:

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} = p(x)q(y) \end{align*}\]

De variabelen kunnen dan worden gescheiden:

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} &= p(x)q(y)\\ \dfrac{1}{q(y)}\dfrac{dy}{dx} &= p(x) \end{align*}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

\[\begin{align*} \int \dfrac{1}{q(y)}\dfrac{dy}{dx} dx &= \int p(x) dx \end{align*}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).

\[\begin{align*} \int \dfrac{1}{q(y)} dy &= \int p(x) dx \end{align*}\]

Voorbeeld: Scheiden van variabelen.

Toon van de volgende differentiaalvergelijking aan of deze opgelost kan worden met scheiden van variabelen.

\[\begin{align*} (6y+2)\dfrac{dy}{dx} +(2−2x) = 0 \end{align*}\]

Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.

(34)\[\begin{align} (6y+2)\dfrac{dy}{dx} = 2x - 2 \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(35)\[\begin{align} \int (6y+2)\dfrac{dy}{dx} dx &= \int (2x - 2) dx \end{align}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).

(36)\[\begin{align} \int (6y+2) dy &= \int (2x - 2) dx \end{align}\]

Dus de vergelijking kan opgelost worden met scheiden van variabelen.

Oefening 1

Toon van de volgende differentiaalvergelijking aan of deze opgelost kan worden met scheiden van variabelen.

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2}{y} \end{align*}\]

Uitwerking

Toon van de volgende differentiaalvergelijking aan of deze opgelost kan worden met scheiden van variabelen.

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{x^2}{y} \end{align*}\]

Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.

(37)\[\begin{align} y \dfrac{dy}{dx} = x^2 \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(38)\[\begin{align} \int y\dfrac{dy}{dx} dx &= \int x^2 dx \end{align}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).

(39)\[\begin{align} \int y dy &= \int x^2 dx \end{align}\]

Dus de vergelijking kan opgelost worden met scheiden van variabelen.

Oefening 2

Toon van de volgende differentiaalvergelijking aan of deze opgelost kan worden met scheiden van variabelen.

\[\begin{align*} e^x \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3e^{4x}}{e^y} \end{align*}\]

Uitwerking

Toon van de volgende differentiaalvergelijking aan of deze opgelost kan worden met scheiden van variabelen.

\[\begin{align*} e^x \dfrac{dy}{dx} = \dfrac{3e^{4x}}{e^y} \end{align*}\]

Alle variabelen met een \(y\) naar links en variabelen met een \(x\) naar rechts.

(40)\[\begin{align} e^y \dfrac{dy}{dx} &= \dfrac{3e^{4x}}{e^x} \\ e^y \dfrac{dy}{dx} &= 3e^{3x} \end{align}\]

Aan beide kanten de integraal nemen naar \(dx\).

(41)\[\begin{align} \int e^y \dfrac{dy}{dx} dx &= \int 3e^{3x} dx \end{align}\]

De integraal \(\dfrac{dy}{dx}dx\) vereenvoudigen tot \(dy\).

(42)\[\begin{align} \int e^y dy &= \int 3e^{3x} dx \end{align}\]

Dus de vergelijking kan opgelost worden met scheiden van variabelen.