7.1 Ordesymbool van Landau

Omdat over het algemeen de exacte oplossing van een probleem dat opgelost wordt met numerieke methoden niet bekend is, kan over het algemeen geen nauwkeurige indicatie gegeven worden voor de gemaakte fout in de benadering.

Er is immers geen oplossing om de benadering mee te vergelijken. Een alternatief wordt geboden door het orde symbool van Landau. Dit geeft een indicatie voor de orde van grootte van de fout en daarmee dus ook een indicatie voor hoe snel de fout afneemt als de stapgrootte wordt verkleind.

Definitie 7.1. Gegeven een functie f(x) geldt dat f(x) = O(xp) met p≥0 voor x→0 als er q,A>0 bestaan zodat: |f(x)|≤A|xp| vooralle x∈[−q,q]

Example 1

Voorbeeld 7.1. De Taylorreeks kan gebruikt worden om een functiewaarde van een oneindig differentieerbare functie te benaderen. In het algemeen geldt voor a,x∈Df: f(x) = ∞ i=0 f(i)(a) i! (x−a)n

Vaak wordt in benaderingen van een beperkt aantal termen gebruik gemaakt. De fout kan weergegeven worden met het O-symbool van Landau. Bijvoorbeeld: f(x) = f(a) + f′(a)(x−a) + O((x−a)2)