3.4 Uitwerkingen

Opgave 3.1a

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y = Ce^{3x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} - 3y = 0 \end{align*}\]

Als algemene oplossing voor de D.V. stel:

(290)\[\begin{align} y = Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(291)\[\begin{align} \lambda \cdot Ce^{\lambda x} - 3 \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\ (\lambda -3 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).

Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:

(292)\[\begin{align} \lambda -3 &= 0 \\ \lambda &= 3 \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda =3\) invullen in de algemene oplossing geeft;

(293)\[\begin{align} y = Ce^{3x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 3.1b

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y = Ce^{-\frac{5}{4}x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} 4\dfrac{dy}{dx} + 5y = 0 \end{align*}\]

Als algemene oplossing voor de D.V. stel:

(294)\[\begin{align} y = Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(295)\[\begin{align} 4 \lambda \cdot Ce^{\lambda x} +5 \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\ (4\lambda +5 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus.

Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:

(296)\[\begin{align} 4\lambda +5 &= 0 \\ 4\lambda &= -5 \\ \lambda &= -\frac{5}{4} \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda =-\dfrac{5}{4}\) invullen in de algemene oplossing geeft;

(297)\[\begin{align} y = Ce^{-\frac{5}{4}x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 3.1c

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y = Ce^{\frac{2}{3}x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} 3\dfrac{dy}{dx} = 2y \\ 3\dfrac{dy}{dx} - 2y = 0 \end{align*}\]

Als algemene oplossing voor de D.V. stel:

(298)\[\begin{align} y = Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(299)\[\begin{align} 3 \lambda \cdot Ce^{\lambda x} -2 \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\ (3\lambda -2 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).

Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:

(300)\[\begin{align} 3\lambda -2 &= 0 \\ 3\lambda &= 2 \\ \lambda &= \frac{2}{3} \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda =\dfrac{2}{3}\) invullen in de algemene oplossing geeft;

(301)\[\begin{align} y = Ce^{\frac{2}{3}x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 3.1d

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y = Ce^{\frac{23}{10}x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} -10\dfrac{dy}{dx} = -23y \\ -10\dfrac{dy}{dx} + 23y = 0 \end{align*}\]

Als algemene oplossing voor de D.V. stel:

(302)\[\begin{align} y = Ce^{\lambda x} \qquad \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(303)\[\begin{align} -10 \lambda \cdot Ce^{\lambda x} +23 \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\ (-10\lambda +23 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).

Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:

(304)\[\begin{align} -10\lambda +23 &= 0 \\ -10\lambda &= -23 \\ \lambda &= \frac{23}{10} \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda =\dfrac{23}{10}\) invullen in de algemene oplossing geeft;

(305)\[\begin{align} y = Ce^{\frac{23}{10}x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 3.2a

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= Ce^{-4x} + \dfrac{3}{4}x^2 - \dfrac{3}{8}x + \dfrac{3}{32} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} + 4y = 3x^2 \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(306)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(307)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} + 4y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(308)\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(309)\[\begin{align} \lambda \cdot Ce^{\lambda x} +4 \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\ (\lambda +4 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).

Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:

(310)\[\begin{align} \lambda +4 &= 0 \\ \lambda &= -4 \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda =4\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(311)\[\begin{align} y_h = Ce^{-4x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(312)\[\begin{align} y_p = Ax^2 + Bx + D \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(313)\[\begin{align} (2Ax +B) + 4 \cdot (Ax^2 + Bx + D) &= 3x^2 \\ (2Ax +B) + 4Ax^2 + 4Bx + 4D&= 3x^2 \\ 4Ax^2 +(2A+4B)x + (B+4D) &= 3x^2 \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(314)\[\begin{align} 4A &= 3 \\ 2A+4B &= 0 \\ B + 4D &= 0 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(315)\[\begin{align} A = \dfrac{3}{4} \end{align}\]

\(A \) invullen geeft:

(316)\[\begin{align} 2 \cdot \dfrac{3}{4} + 4B &= 0\\ \dfrac{6}{4} + 4B &= 0\\ 4B &= -\dfrac{6}{4}\\ B &= -\dfrac{6}{16} = -\dfrac{3}{8} \end{align}\]

\(B \) invullen geeft:

(317)\[\begin{align} -\dfrac{3}{8} + 4D &= 0\\ 4D &= \dfrac{3}{8} \\ D &= \dfrac{3}{32} \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) en \(D\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(318)\[\begin{align} y_p = \dfrac{3}{4}x^2 - \dfrac{3}{8}x + \dfrac{3}{32} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(319)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= Ce^{-4x} + \dfrac{3}{4}x^2 - \dfrac{3}{8}x + \dfrac{3}{32} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 3.2b

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} y &= Ce^{x} -\dfrac{1}{4e^{x}} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

\[\begin{align*} 2\dfrac{dy}{dx} - 2y &= \dfrac{1}{e^x}\\ 2\dfrac{dy}{dx} - 2y &= e^{-x} \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(320)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(321)\[\begin{align} 2\dfrac{dy}{dx} - 2y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(322)\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(323)\[\begin{align} 2 \lambda \cdot Ce^{\lambda x} +2 \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\ (2\lambda -2 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus.

Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:

(324)\[\begin{align} 2\lambda -2 &= 0 \\ 2\lambda &= 2\\ \lambda &= 1\\ \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda =1\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(325)\[\begin{align} y_h = Ce^{x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(326)\[\begin{align} y_p = Ae^{-x} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(327)\[\begin{align} 2 \cdot -Ae^{-x} - 2 \cdot Ae^{-x} = e^{-x} \\ -4Ae^{-x}=e^{-x} \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(328)\[\begin{align} -4A &= 1 \\ A &= -\dfrac{1}{4} \end{align}\]

De waarde voor \(A\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(329)\[\begin{align} y_p = -\dfrac{1}{4} e^{-x} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(330)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= Ce^{x} -\dfrac{1}{4e^{x}} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 3.2c

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= Ce^{-3x} -\dfrac{3}{10}\sin(x) + \dfrac{1}{10}\cos(x) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} + 3y + sin(x) &= 0\\ \dfrac{dy}{dx} + 3y &= -sin(x) \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(331)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(332)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} + 3y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(333)\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(334)\[\begin{align} \lambda \cdot Ce^{\lambda x} +3 \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\ (\lambda +3 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).

Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:

(335)\[\begin{align} \lambda +3 &= 0 \\ \lambda &= -3 \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda =3\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(336)\[\begin{align} y_h = Ce^{-3x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(337)\[\begin{align} y_p = Asin(x) + Bcos(x) \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(338)\[\begin{align} (A\cos(x) - B\sin(x)) + 3 \cdot (A\sin(x) + B\cos(x)) &= - \sin(x) \\ A\cos(x) - B\sin(x) + 3A\sin(x) + 3B\cos(x) &= - \sin(x) \\ (-B+3A)\sin(x) + (A+3B)\cos(x) &= - \sin(x) \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(339)\[\begin{align} -B+3A = -1 \\ A+3B = 0 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(340)\[\begin{align} B = -\dfrac{1}{3}A \end{align}\]

\(B \) invullen geeft:

(341)\[\begin{align} -(-\dfrac{1}{3}A) + 3A &= -1\\ \dfrac{1}{3}A + \dfrac{9}{3}A &= -1\\ \dfrac{1}{3}A + \dfrac{9}{3}A &= -1\\ \dfrac{10}{3}A &= -1\\ A &= -\dfrac{3}{10} \end{align}\]

\(A \) invullen geeft:

(342)\[\begin{align} B &= -\dfrac{1}{3}A \\ B &= -\dfrac{1}{3}\cdot -\dfrac{3}{10} \\ B &= \dfrac{1}{10} \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(343)\[\begin{align} y_p = -\dfrac{3}{10}\sin(x) + \dfrac{1}{10}\cos(x) \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(344)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= Ce^{-3x} -\dfrac{3}{10}\sin(x) + \dfrac{1}{10}\cos(x) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 3.2d

Antwoord

De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= Ce^{\frac{1}{5}x} -\dfrac{2}{101}\cos(2x) + \dfrac{20}{101}\sin(2x) + \dfrac{1}{4} e^x \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal analytisch de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking.

\[\begin{align*} 5\dfrac{dy}{dx} -y &= 2\cos(2x) + e^x \\ \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(345)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(346)\[\begin{align} 5\dfrac{dy}{dx} - y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(347)\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(348)\[\begin{align} 5\lambda \cdot Ce^{\lambda x} - \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\ (5\lambda -1 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).

Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:

(349)\[\begin{align} 5\lambda -1 &= 0 \\ 5\lambda &= 1 \\ \lambda &= \dfrac{1}{5} \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda =\dfrac{1}{5}\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(350)\[\begin{align} y_h = Ce^{\frac{1}{5}x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(351)\[\begin{align} y_p = A\cos(2x) + B\sin(2x) + De^x \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(352)\[\begin{align} 5 \cdot (-2A\sin(2x) + 2B\cos(2x) + De^x) - (A\cos(2x) + B\sin(2x) + De^x) &= 2\cos(2x) + e^x \\ -10A\sin(2x) + 10B\cos(2x) + 5De^x - A\cos(2x) - B\sin(2x) - De^x &= 2\cos(2x) + e^x \\ (-A+10B)\cos(2x) + (-10A-B)\sin(2x)+ 4De^x &= 2\cos(2x) + e^x \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(353)\[\begin{align} -A+10B &= 2 \\ -10A-B &= 0 \\ 4D &= 1 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(354)\[\begin{align} D = \dfrac{1}{4} \end{align}\]

Hieruit volgt:

(355)\[\begin{align} B = -10A \end{align}\]

\(B \) invullen geeft:

(356)\[\begin{align} -A + 10 \cdot (-10A) &= 2\\ -A - 100A &= 2\\ - 101A &= 2\\ A &= -\dfrac{2}{101} \end{align}\]

\(A \) invullen geeft:

(357)\[\begin{align} B &= -10A \\ B &= -10 \cdot -\dfrac{2}{101} \\ B &= \dfrac{20}{101} \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) en \(D\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(358)\[\begin{align} y_p = -\dfrac{2}{101}\cos(2x) + \dfrac{20}{101}\sin(2x) + \dfrac{1}{4} e^x \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(359)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= Ce^{\frac{1}{5}x} -\dfrac{2}{101}\cos(2x) + \dfrac{20}{101}\sin(2x) + \dfrac{1}{4} e^x \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Opgave 3.3a

Antwoord

De gevraagde oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= -\dfrac{9}{4}e^{-3x} +\dfrac{5}{4}e^x + 2 \end{align*}\]

Uitwerking

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} +3y &= 6 + 5e^x \\ \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(360)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(361)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} + 3y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(362)\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(363)\[\begin{align} \lambda \cdot Ce^{\lambda x} +3 \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\ (\lambda +3 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).

Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:

(364)\[\begin{align} \lambda + 3 &= 0 \\ \lambda &= -3 \\ \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda =-3\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(365)\[\begin{align} y_h = Ce^{-3x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(366)\[\begin{align} y_p = Ae^x + B \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(367)\[\begin{align} Ae^x + 3 \cdot (Ae^x + B) &= 6 + 5e^x \\ Ae^x + 3Ae^x +3B &= 6 + 5e^x \\ 4Ae^x + 3B &= 6 + 5e^x \\ \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(368)\[\begin{align} 4A &= 5 \\ 3B &= 6 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(369)\[\begin{align} B &= \dfrac{6}{3} =2 \end{align}\]

En:

(370)\[\begin{align} A &= \dfrac{5}{4} \end{align}\]

De waardes v oor \(A\), \(B\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(371)\[\begin{align} y_p = \dfrac{5}{4}e^x +2 \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(372)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= Ce^{-3x} +\dfrac{5}{4}e^x + 2 \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om C te bepalen. \(y(0) = 1\)

Dus invullen geeft:

(373)\[\begin{align} 1 &= Ce^{-3x} +\dfrac{5}{4}e^x + 2\\ 1 &= Ce^{-3 \cdot 0} +\dfrac{5}{4}e^0 + 2 \\ 1 &= C +\dfrac{5}{4} + 2 \\ 1 &= C +\dfrac{13}{4} \end{align}\]

Hieruit volgt:

(374)\[\begin{align} C = -\dfrac{9}{4} \end{align}\]

Dus C invullen in de totale oplossing geeft:

(375)\[\begin{align} y &= -\dfrac{9}{4}e^{-3x} +\dfrac{5}{4}e^x + 2 \end{align}\]

Opgave 3.3b

Antwoord

De gevraagde oplossing van de differentiaalvergelijking is:

\[\begin{align*} y &= \dfrac{9}{17}e^{\frac{1}{2}x} +\dfrac{2}{27}\sin(2x) - \dfrac{9}{17}\cos(2x) \end{align*}\]

Uitwerking

\[\begin{align*} 2\dfrac{dy}{dx} -y &= 2\sin(2x) + \cos(2x) \\ \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(376)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(377)\[\begin{align} 2\dfrac{dy}{dx} - y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(378)\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(379)\[\begin{align} 2\lambda \cdot Ce^{\lambda x} - \cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \\ (2\lambda -1 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \).

Dus de karakteristieke vergelijking wordt gegeven door:

(380)\[\begin{align} 2\lambda -1 &= 0 \\ 2\lambda &= 1 \\ \lambda &= \dfrac{1}{2} \end{align}\]

De waarde voor \(\lambda =\dfrac{1}{2}\) invullen in de homogene oplossing geeft;

(381)\[\begin{align} y_h = Ce^{\frac{1}{2}x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.
Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(382)\[\begin{align} y_p = A\sin(2x) + B\cos(2x) \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(383)\[\begin{align} 2 \cdot (2A\cos(2x) - 2B\sin(2x)) - (A\sin(2x) + B\cos(2x)) &= 2\sin(2x) + \cos(2x) \\ 4A\cos(2x) - 4B\sin(2x) - A\sin(2x) - B\cos(2x) &= 2\sin(2x) + \cos(2x) \\ (-A-4B)\sin(2x) + (4A-B)\cos(2x) &= 2\sin(2x) + \cos(2x) \end{align}\]

De co”effici”enten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(384)\[\begin{align} -A-4B &= 2 \\ 4A-B &= 1 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(385)\[\begin{align} B = 4A-1 \end{align}\]

\(B \) invullen geeft:

(386)\[\begin{align} -A - 4 \cdot (4A-1) &= 2\\ -A -16A +4 &= 2\\ -17A &= -2\\ A &= \dfrac{2}{17} \end{align}\]

\(A \) invullen geeft:

(387)\[\begin{align} B &= 4A -1 \\ B &= 4 \cdot \dfrac{2}{17} -1 \\ B &= -\dfrac{9}{17} \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(388)\[\begin{align} y_p = \dfrac{2}{17}\sin(2x) - \dfrac{9}{17}\cos(2x) \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(389)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= Ce^{\frac{1}{2}x} +\dfrac{2}{27}\sin(2x) - \dfrac{9}{17}\cos(2x)\qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om C te bepalen. \(y(0) = 0\)

Dus invullen geeft:

(390)\[\begin{align} 0 &= Ce^{\frac{1}{2}\cdot 0} +\dfrac{2}{27}\sin(2\cdot 0) - \dfrac{9}{17}\cos(2\cdot 0)\\ 0 &= C \cdot 1 +\dfrac{2}{27}\cdot 0 - \dfrac{9}{17}\cdot 1 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(391)\[\begin{align} C = \dfrac{9}{17} \end{align}\]

Dus C invullen in de totale oplossing geeft:

(392)\[\begin{align} y &= \dfrac{9}{17}e^{\frac{1}{2}x} +\dfrac{2}{27}\sin(2x) - \dfrac{9}{17}\cos(2x) \end{align}\]