1.3 Type differentiaal vergelijkingen

Theorie

Er zijn verschillende typen differentiaalvergelijkingen te onderscheiden, één belangrijk onderscheid is dat tussen lineaire en niet-lineaire differentiaalvergelijkingen.

Bij lineaire differentiaalvergelijkingen worden homogene en inhomogene vergelijkingen onderscheiden.

Theorie: Lineaire en Niet-Lineaire differentiaalvergelijking

Een differentiaalvergelijking die in de volgende vorm geschreven kan worden wordt een lineaire differentiaalvergelijking genoemd:

\[\begin{align*} \dfrac{d^ny}{dx^ny} + \dfrac{d^{n-1}y}{dx^{n-1}} + ... + q(1)\dfrac{dy}{dx} + q_0(x)y &= f(x) \end{align*}\]

Een differentiaalvergelijking die niet in deze vorm geschreven kan worden wordt een niet-lineaire differentiaalvergelijking genoemd.

Om aan te tonen dat een differentiaalvergelijking lineair is moet altijd de vergelijking naar bovengenoemde standaardvorm worden herleid. Dit is de enige manier om met zekerheid te kunnen aangeven dat de differentiaalvergelijking lineair is.

Voorbeeld: Lineaire differentiaalvergelijking

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} + 3y &= 4x^2 \end{align*}\]

is een lineaire differentiaalvergelijking.

Voorbeeld: Niet-lineaire differentiaalvergelijking

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} + e^y &= 0 \end{align*}\]

is een niet lineaire differentiaalvergelijking.

Theorie: Homogene en inhomogene lineaire differentiaalvergelijking

Een lineaire differentiaalvergelijking is homogeen als \(f(x) = 0\). Anders is het een inhomogene lineaire differentiaalvergelijking.

De vraag of een differentiaalvergelijking homogeen is of niet kan alleen beantwoord worden in het geval van een lineaire differentiaalvergelijking. Een niet-lineaire differentiaalvergelijking kan niet homogeen of inhomogeen zijn.

Voorbeeld: Homogene lineaire differentiaalvergelijking

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} + 3y &= 0 \end{align*}\]

is een homogene lineaire differentiaalvergelijking.

Oefening 1

Geef van de volgende differentiaalvergelijking aan of dit een lineaire differentiaalvergelijking is of niet. Geef als het een lineaire differentiaalvergelijking betreft ook aan of deze homogeen of inhomogeen is.

\[\begin{align*} e^{12y}\dfrac{d^2t}{dy^2} - 15\dfrac{d^7t}{dy^7} + \ln(y^8) = \dfrac{d^4t}{dy^4} + 9y\dfrac{dt}{dy} - \sin(10t) \end{align*}\]

Uitwerking

Geef van de volgende differentiaalvergelijking aan of dit een lineaire differentiaalvergelijking is of niet. Geef als het een lineaire differentiaalvergelijking betreft ook aan of deze homogeen of inhomogeen is.

\[\begin{align*} e^{12y}\dfrac{d^2t}{dy^2} - 15\dfrac{d^7t}{dy^7} + \ln(y^8) = \dfrac{d^4t}{dy^4} + 9y\dfrac{dt}{dy} - \sin(10t) \end{align*}\]

Omschrijven naar de standaard vorm levert:

(10)\[\begin{align} - 15\dfrac{d^7t}{dy^7} - \dfrac{d^4t}{dy^4}+ e^{12y}\dfrac{d^2t}{dy^2}+ 9y\dfrac{dt}{dy} + \sin(10t) = - \ln(y^8) \end{align}\]

Deze vorm komt NIET overeen met de standaardvorm voor een lineaire DV, dus DV is niet-lineair. De DV is niet-lineair door de term \(\sin(t)\) aan de linkerkant van het = teken.

Oefening 2

Geef van de volgende differentiaalvergelijking aan of dit een lineaire differentiaalvergelijking is of niet. Geef als het een lineaire differentiaalvergelijking betreft ook aan of deze homogeen of inhomogeen is.

\[\begin{align*} \cos(2t)\dfrac{d^2x}{dt^2} - 5t^2\dfrac{d^5x}{dt^5} + \dfrac{d^3x}{dt^3} = 3\dfrac{dx}{dt} - \dfrac{x}{t^2} + e^{3t} \end{align*}\]

Uitwerking

Geef van de volgende differentiaalvergelijking aan of dit een lineaire differentiaalvergelijking is of niet. Geef als het een lineaire differentiaalvergelijking betreft ook aan of deze homogeen of inhomogeen is.

\[\begin{align*} \cos(2t)\dfrac{d^2x}{dt^2} - 5t^2\dfrac{d^5x}{dt^5} + \dfrac{d^3x}{dt^3} = 3\dfrac{dx}{dt} - \dfrac{x}{t^2} + e^{3t} \end{align*}\]

Omschrijven naar de standaard vorm levert:

(11)\[\begin{align} - 5t^2\dfrac{d^5x}{dt^5} + \dfrac{d^3x}{dt^3} + \cos(2t)\dfrac{d^2x}{dt^2} - 3\dfrac{dx}{dt} + \dfrac{x}{t^2} = e^{3t} \end{align}\]

Deze vorm komt overeen met de standaardvorm voor een lineaire DV. De lineaire DV is ongelijk aan 0, \(f(x)= e^{3t} \), dus inhomogeen.