4.2 Inhomogene vergelijkingen

Theorie

Tenslotte is er vaak sprake van inhomogene tweede orde lineaire differentiaalvergelijkingen met constante coëfficiënten:

\[\begin{align*} a\dfrac{d^2y}{dx^2} + b\dfrac{dy}{dx} + cy = f(x) \end{align*}\]

Om deze vergelijking op te lossen gaan we op dezelfde wijze te werk als bij de eerste orde vergelijkingen, met de methode van onbepaalde coëfficiënten.

1. Los dus eerst de corresponderende homogene vergelijking op. Dit geeft \(y_h\).

2. Vindt vervolgens een particuliere oplossing \(y_p\) van de inhomogene vergelijking.

3. De algemene oplossing van de differentiaalvergelijking wordt gegeven door \(y(x) = y_h + y_p\).

Voor het vinden van een particuliere oplossing kan grotendeels analoog aan de eerste orde situatie te werk gegaan worden. Kies een particuliere oplossing van de vorm die de factoren van \(f(x)\) en hun eerste en tweede afgeleide bevatten. Een aantal concrete richtlijnen voor de particuliere oplossing zijn:

• Als \(f(x)\) een polynoom is van graad \(n\), kies dan \(y_p\) een polynoom van graad \(n\). Soms is zo geen particuliere oplossing te vinden. Vermenigvuldig dan \(y_p\) met \(x\) of \(x^2\).

• Als \(f(x) = b1 \cos(ωx)+b2 \sin(ωx)\) kies dan \(y_p = A \cos(ωx)+ B \sin(ωx)\). Als \(y_h\) een cosinus of sinus bevat met hetzelfde argument, vermenigvuldig dan \(y_p\) met \(x\).

• Als \(f(x) = be^{\alpha x}\) en dit is geen factor van de homogene vergelijking, neem dan \(y_p = Ae^{\alpha x}\). Als \(e^{\alpha x}\) wel een factor is van \(y_h\) neem dan \(y_p = Axe^{\alpha x}\). Als dit ook een factor is van \(y_h\) neem dan \(y_p = Ax^2e^{\alpha x}\).

4.2.1 \(f(x) = ax^2 + bx + c \)

Voorbeeld 1: Polynoom

Bepaal de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx}-3\dfrac{dy}{dx} -10y = x^2 - 6 \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(454)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(455)\[\begin{align} \dfrac{d^2y}{dx^2}-3\dfrac{dy}{dx} -10y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(456)\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(457)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(458)\[\begin{align} (\lambda^2 Ce^{\lambda x}) -3(\lambda Ce^{\lambda x}) -10(Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (\lambda^2- 3\lambda -10 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(459)\[\begin{align} \lambda^2 - 3\lambda -10 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(460)\[\begin{align} D = (-3)^2 - 4 \cdot 1 \cdot -10 = 9+40=49 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(461)\[\begin{align} (\lambda -5)(\lambda +2) &= 0 \end{align}\]

dus \(\lambda_1 = 5\) en \(\lambda_2 = -2\)

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y_h = C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_2 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R}\\ y_h = C_1e^{5 x} + C_2e^{-2 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(462)\[\begin{align} y_p = Ax^2 + Bx + D \end{align}\]

Dus,

(463)\[\begin{align} \dfrac{dy_p}{dx} &= 2Ax + B \\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= 2A \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(464)\[\begin{align} 2A - 3\cdot (2Ax+B) -10 \cdot (Ax^2 + Bx + D) &= x^2-6 \\ 2A- 6Ax -3B - 10Ax^2 -10Bx - 10D&= x^2 - 6\\ -10Ax^2 +(-6A-10B)x + (2A - 3B - 10D) &= x^2 - 6 \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(465)\[\begin{align} -10A &= 1 \\ -6A-10B &= 0 \\ 2A-3B-10D &= -6 \end{align}\]

Verkorte schrijfwijze:

(466)\[\begin{align} y_p &= Ax^2 + Bx + D \qquad & |-10| \\ \dfrac{dy_p}{dx} &= 2Ax + B \qquad & |-3|\\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= 2A \qquad & |1| \\ \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(467)\[\begin{align} x^2: &-10A = 1 \\ x: &-10B-6A = 0 \\ x^0: & -10D-3B +2A = -6 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(468)\[\begin{align} A = -\dfrac{1}{10} \end{align}\]

\(A\) invullen geeft:

(469)\[\begin{align} -6 \cdot -\dfrac{1}{10} -10B &= 0\\ \dfrac{6}{10} -10B &= 0\\ -10B &= -\dfrac{6}{10}\\ B &= \dfrac{6}{100}=\dfrac{3}{50} \end{align}\]

\(B\) invullen geeft:

(470)\[\begin{align} 2 \cdot -\dfrac{1}{10} -3 \cdot \dfrac{3}{50} -10D &= -6\\ -\dfrac{2}{10} - \dfrac{9}{50} -10D &= -6\\ -\dfrac{10}{50} - \dfrac{9}{50} -10D &= -6\\ - \dfrac{19}{50} -10D &= -6\\ -10D &= -\dfrac{281}{50}\\ D&= \dfrac{281}{500} \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) en \(D\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(471)\[\begin{align} y_p = -\dfrac{1}{10}x^2 + \dfrac{3}{50}x + \dfrac{281}{500} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(472)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= y = C_1e^{5 x} + C_2e^{-2 x} -\dfrac{1}{10}x^2 + \dfrac{3}{50}x + \dfrac{281}{500}\qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align}\]

Oefening 1

Bepaal de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx}-4\dfrac{dy}{dx} +4y = 3x^2 - 2x \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx}-4\dfrac{dy}{dx} +4y = 3x^2 - 2x \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(473)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(474)\[\begin{align} \dfrac{d^2y}{dx^2}-4\dfrac{dy}{dx} +4y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(475)\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(476)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(477)\[\begin{align} (\lambda^2 Ce^{\lambda x}) -4(\lambda Ce^{\lambda x}) +4(Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (\lambda^2- 4\lambda +4 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(478)\[\begin{align} \lambda^2 - 4\lambda +4 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(479)\[\begin{align} D = (-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 4 = 16-16=0 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(480)\[\begin{align} (\lambda -2)(\lambda -2) &= 0 \end{align}\]

dus \(\lambda_1 = 2\) en \(\lambda_2 = 2\)

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y_h &= C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_2 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R}\\ y_h &= C_1e^{2 x} + C_2xe^{2 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \\ y_h &= (C_1 + C_2x)e^{2 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(481)\[\begin{align} y_p = Ax^2 + Bx + D \end{align}\]

Dus,

(482)\[\begin{align} \dfrac{dy_p}{dx} &= 2Ax + B \\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= 2A \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(483)\[\begin{align} 2A - 4\cdot (2Ax+B) +4 \cdot (Ax^2 + Bx + D) &= 3x^2 - 2x \\ 2A- 8Ax -4B +4Ax^2 +4Bx +4D&= 3x^2 - 2x\\ 4Ax^2 +(-8A+4B)x + (2A - 8B +4D) &= 3x^2 - 2x \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(484)\[\begin{align} 4A &= 3 \\ -8A+4B &= -2 \\ 2A-4B+4D &= 0 \end{align}\]

Verkorte schrijfwijze:

(485)\[\begin{align} y_p &= Ax^2 + Bx + D \qquad & |4| \\ \dfrac{dy_p}{dx} &= 2Ax + B \qquad & |-4|\\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= 2A \qquad & |1| \\ \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(486)\[\begin{align} x^2: &4A = 3 \\ x: &4B-8A = -2 \\ x^0: & 4D -4B + 2A = 0 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(487)\[\begin{align} A = \dfrac{3}{4} \end{align}\]

\(A\) invullen geeft:

(488)\[\begin{align} -8 \cdot \dfrac{3}{4} +4B &= -2\\ -\dfrac{24}{4} +4B &= -2\\ 4B &= 4 \\ B &= 1 \end{align}\]

\(A\) en \(B\) invullen geeft:

(489)\[\begin{align} 2 \cdot \dfrac{3}{4} -4 \cdot 1 +4D &= 0\\ \dfrac{6}{4} - 4 +4D &= 0\\ \dfrac{3}{2} - \dfrac{8}{2} +4D &= 0\\ - \dfrac{5}{2} +4D &= 0\\ 4D &= \dfrac{5}{2}\\ D&= \dfrac{5}{8} \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) en \(D\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(490)\[\begin{align} y_p = \dfrac{3}{4}x^2 + x + \dfrac{5}{8} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(491)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= y = C_1e^{2 x} + C_2xe^{2 x} + \dfrac{3}{4}x^2 + x + \dfrac{5}{8} \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align}\]

Oefening 2

Bepaal de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx}-\dfrac{dy}{dx} +2y = -4x + 8 \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal de algemene oplossing van de differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx}-\dfrac{dy}{dx} +2y = -4x + 8 \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(492)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(493)\[\begin{align} \dfrac{d^2y}{dx^2} - \dfrac{dy}{dx} +2y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(494)\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(495)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(496)\[\begin{align} (\lambda^2 Ce^{\lambda x}) - (\lambda Ce^{\lambda x}) +2 (Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (\lambda^2 - \lambda +2 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(497)\[\begin{align} \lambda^2 - \lambda +2 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(498)\[\begin{align} D = (-1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 2 = 1-8= -7 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(499)\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{1 \pm i\sqrt{7}}{2 \cdot 1}\\ \lambda_{1,2} &= \dfrac{1}{2} \pm i \dfrac{\sqrt{7}}{2} \\ \lambda_{1,2} &= \dfrac{1}{2} \pm i \dfrac{1}{2}\sqrt{7} \end{align}\]

Hieruit volgt dat \(p=\dfrac{1}{2}\) en \(q=\dfrac{1}{2}\sqrt{7}\)

De waarde voor \(p\) en \(q\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y_h = e^{px}(C_1\cos(qx) + C_2\sin(qx)) \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align*}\]

(500)\[\begin{align} y_h = e^{\dfrac{1}{2}x}\left(C_1\cos\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{7}x\right) + C_2\sin \left( \dfrac{1}{2}\sqrt{7}x \right)\right) \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(501)\[\begin{align} y_p = Ax + B \end{align}\]

Dus,

(502)\[\begin{align} \dfrac{dy_p}{dx} &= A \\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= 0 \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(503)\[\begin{align} 0 - (A) +2 \cdot (Ax + B) &= - 4x + 8 \\ -A + 2Ax +2B &= - 4x + 8 \\ (2A)x + (-A + 2B) &= - 4x + 8 \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(504)\[\begin{align} 2A &= -4 \\ -A+2B &= 8 \end{align}\]

Verkorte schrijfwijze:

(505)\[\begin{align} y_p &= Ax + B \qquad & |2| \\ \dfrac{dy_p}{dx} &= A \qquad & |-1|\\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= 0 \qquad & |1| \\ \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(506)\[\begin{align} x: &2A = -4 \\ x^0: & 2B -A = 8 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(507)\[\begin{align} A &= \dfrac{-4}{2}\\ A &= -2 \end{align}\]

\(A\) invullen geeft:

(508)\[\begin{align} -(-2) + 2B &= 8\\ 2B &= 6\\ B &= 3 \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(509)\[\begin{align} y_p = -2x + 3 \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(510)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= y = e^{\dfrac{1}{2}x}\left(C_1\cos\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{7}x\right) + C_2\sin \left( \dfrac{1}{2}\sqrt{7}x \right)\right) -2x + 3 \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align}\]

4.2.2 \(f(x) = ae^{bx}\)

Voorbeeld 2: e-macht

Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2}-4\dfrac{dy}{dx} +4y = 2e^{2x} \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(511)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(512)\[\begin{align} \dfrac{d^2y}{dx^2}-4\dfrac{dy}{dx} +4y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(513)\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(514)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(515)\[\begin{align} (\lambda^2 Ce^{\lambda x}) -4(\lambda Ce^{\lambda x}) +4(Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (\lambda^2+4\lambda -4 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(516)\[\begin{align} \lambda^2 +4\lambda -4 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(517)\[\begin{align} D = (4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot -4 = 16 + 16 = 32 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(518)\[\begin{align} (\lambda -2)(\lambda -2) &= 0 \end{align}\]

dus \(\lambda_1 = 2\) en \(\lambda_2 = 2\)

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y_h &= C_1e^{\lambda_1 x} + C_2xe^{\lambda_2 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R}\\ y_h &= C_1e^{2 x} + C_2xe^{2 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.
Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(519)\[\begin{align} y_p &= Ae^{2x} \\ y_p &= Ae^{2x}x \\ y_p &= Ae^{2x}x^2 \end{align}\]

Dus,

(520)\[\begin{align} \dfrac{dy_p}{dx} &= 2Ae^{2x} x^2 + Ae^{2x} 2x = 2A(x^2+x)e^{2x}\\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= 4Ae^{2x} \cdot x^2 + 2Ae^{2x} \cdot 2x + 2Ae^{2x} \cdot 2x+ Ae^{2x} \cdot 2= 2A(2x^2+4x+1)e^{2x} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(521)\[\begin{align} 2A(2x^2+4x+1)e^{2x} - 4 \cdot (2A(x^2+x)e^{2x}) + 4 \cdot (Ae^{2x}x^2) &= 2e^{2x} \\ (4Ax^2+8Ax+2A)e^{2x} - (8Ax^2+8Ax)e^{2x} + (4Ax^2)e^{2x} &= 2e^{2x} \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(522)\[\begin{align} 2A &= 2 \\ A&= 1 \end{align}\]

Verkorte schrijfwijze:

(523)\[\begin{align} y_p &= Ae^{2x}x^2 \qquad & |4| \\ \dfrac{dy_p}{dx} &= 2Ae^{2x} x^2 + Ae^{2x} 2x & |-4|\\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= 4Ae^{2x} \cdot x^2 + 2Ae^{2x} \cdot 2x + 2Ae^{2x} \cdot 2x+ Ae^{2x} \cdot 2 \qquad & |1| \\ \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(524)\[\begin{align} x^2e^{2x}: &4A-8A+4A = 0 \\ xe^{2x}: &-8A +4A+4A = 0 \\ e^{2x}: & 2A = 2 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(525)\[\begin{align} A&= 1 \end{align}\]

De waardes voor \(A\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(526)\[\begin{align} y_p = e^{2x}x^2 \end{align}\]

Alternatieve methode :

(527)\[\begin{align} y_p &= 2 \cdot \dfrac{1}{D^2 - 4D +4} \cdot e^{2x} \end{align}\]

(528)\[\begin{align} y_p &= 2 \cdot \dfrac{1}{(D-2)(D-2)} \cdot e^{2x} \\ y_p &= 2 \cdot \dfrac{1}{(D-2)^2} \cdot e^{2x} \\ \end{align}\]

(529)\[\begin{align} y_p &= 2 \cdot e^{2x} \cdot \int \int e^{2x} \cdot e^{-2x} dx dx \\ y_p &= 2 \cdot e^{2x} \cdot \int \int (dx)^2 \\ y_p &= 2 \cdot e^{2x} \cdot \dfrac{1}{2}x^2 \\ y_p &= e^{2x} \cdot x^2 \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(530)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= C_1e^{2 x} + C_2xe^{2 x} + e^{2x}x^2 \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Oefening 3

Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} + \dfrac{dy}{dx} -12y = 5e^{-4x} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} + \dfrac{dy}{dx} -12y = 5e^{-4x} \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(531)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(532)\[\begin{align} \dfrac{d^2y}{dx^2}+\dfrac{dy}{dx} -12y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(533)\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(534)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(535)\[\begin{align} (\lambda^2 Ce^{\lambda x}) +1(\lambda Ce^{\lambda x}) -12(Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (\lambda^2+\lambda -12 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(536)\[\begin{align} \lambda^2 +\lambda -12 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(537)\[\begin{align} D = (1)^2 - 4 \cdot 1 \cdot -12 = 1 + 48 = 49 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(538)\[\begin{align} (\lambda +4)(\lambda -3) &= 0 \end{align}\]

dus \(\lambda_1 = -4\) en \(\lambda_2 = 3\)

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de algemene oplossing geeft;

(539)\[\begin{align} y_h &= C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_2 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R}\\ y_h &= C_1e^{-4 x} + C_2e^{3 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.
Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(540)\[\begin{align} y_p &= Ae^{-4x} \\ y_p &= Ae^{-4x}x \\ \end{align}\]

Dus,

(541)\[\begin{align} \dfrac{dy_p}{dx} &= -4Ae^{-4x} x + Ae^{-4x} = A(-4x+1)e^{-4x}\\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= 16Ae^{-4x} x -4Ae^{-4x} - 4Ae^{-4x} = A(16x-8)e^{-4x}\\ \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(542)\[\begin{align} A(16x-8)e^{-4x} + 1 \cdot (A(-4x+1)e^{-4x}) - 12 \cdot ((Ax)e^{-4x}) &= 5e^{-4x} \\ (16Ax-8A)e^{-4x} + (-4Ax+A)e^{-4x} - (12Ax)e^{-4x} &= 5e^{-4x} \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(543)\[\begin{align} -7A &= 5 \\ \end{align}\]

Verkorte schrijfwijze:

(544)\[\begin{align} y_p &= Ae^{-4x}x \qquad & |-12| \\ \dfrac{dy_p}{dx} &= -4Ae^{-4x} x + Ae^{-4x} & |1|\\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= 16Ae^{-4x} x -4Ae^{-4x} - 4Ae^{-4x} \qquad & |1| \\ \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(545)\[\begin{align} xe^{-4x}: & -12A -4A+16A = 0 \\ e^{-4x}: & A-4A-4A = -7A = 5 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(546)\[\begin{align} A&= -\dfrac{5}{7} \end{align}\]

De waardes voor \(A\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(547)\[\begin{align} y_p = -\dfrac{5}{7}e^{-4x}x \end{align}\]

Alternatieve methode :

(548)\[\begin{align} y_p &= 5 \cdot \dfrac{1}{D^2 + D -12} \cdot e^{-4x} \end{align}\]

(549)\[\begin{align} y_p &= 5 \cdot \dfrac{1}{(D+4)(D-3)} \cdot e^{-4x} \\ y_p &= 5 \cdot \dfrac{1}{(D+4)} \cdot \dfrac{1}{(D-3)}\cdot e^{-4x} \\ \end{align}\]

\(e^{-4x}\) dus \(-4\) invullen:

(550)\[\begin{align} y_p &= 5 \cdot \dfrac{1}{(D+4)} \cdot \dfrac{1}{(-4-3)}\cdot e^{-4x} \\ y_p &= -5 \cdot \dfrac{1}{7} \cdot e^{-4x} \cdot \dfrac{1}{(D+4)} \\ y_p &= -5 \cdot \dfrac{1}{7} \cdot e^{-4x} \cdot \int e^{-4x} \cdot e^{4x}dx \\ y_p &= -5 \cdot \dfrac{1}{7} \cdot e^{-4x} \cdot \int dx \\ y_p &= -5 \cdot \dfrac{1}{7} \cdot e^{-4x} \cdot \int dx \\ y_p &= -\dfrac{5}{7} \cdot e^{-4x} \cdot x \\ \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(551)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= C_1e^{-4 x} + C_2xe^{3 x} -\dfrac{5}{7}e^{-4x}x \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Oefening 4

Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} 4\dfrac{d^2y}{dx^2} +4 \dfrac{dy}{dx} +4 y = -4e^{3x} \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} 4\dfrac{d^2y}{dx^2} +4 \dfrac{dy}{dx} +4 y = -4e^{3x} \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(552)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(553)\[\begin{align} 4\dfrac{d^2y}{dx^2} +4 \dfrac{dy}{dx} +4 y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(554)\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(555)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(556)\[\begin{align} 4(\lambda^2 Ce^{\lambda x}) +4(\lambda Ce^{\lambda x}) +4 (Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (4\lambda^2 +4 \lambda +4 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(557)\[\begin{align} 4\lambda^2 +4 \lambda +4 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(558)\[\begin{align} D = (4)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 4 = 16 - 64 = -48 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(559)\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{-4 \pm i\sqrt{48}}{2 \cdot 4}\\ \lambda_{1,2} &= -\dfrac{4}{8} \pm i \dfrac{4\sqrt{3}}{8} \\ \lambda_{1,2} &= -\dfrac{1}{2} \pm i \dfrac{1}{2}\sqrt{3} \end{align}\]

Hieruit volgt dat \(p=-\dfrac{1}{2}\) en \(q=\dfrac{1}{2}\sqrt{3}\)

De waarde voor \(p\) en \(q\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y_h = e^{px}(C_1\cos(qx) + C_2\sin(qx)) \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align*}\]

(560)\[\begin{align} y_h = e^{-\dfrac{1}{2}x}\left(C_1\cos\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{3}x\right) + C_2\sin \left( \dfrac{1}{2}\sqrt{3}x \right)\right) \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V.
Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(561)\[\begin{align} y_p &= Ae^{3x} \\ \end{align}\]

Dus,

(562)\[\begin{align} \dfrac{dy_p}{dx} &= 3Ae^{3x} \\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= 9Ae^{3x} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(563)\[\begin{align} 4 \cdot (9Ae^{3x}) + 4 \cdot (3Ae^{3x}) +4 \cdot (Ae^{3x}) &= -4e^{3x} \\ 36Ae^{3x} +12Ae^{3x} +4Ae^{3x} &= -4e^{3x} \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(564)\[\begin{align} 52A &= -4 \\ \end{align}\]

Verkorte schrijfwijze:

(565)\[\begin{align} y_p &= Ae^{3x} \qquad & |4| \\ \dfrac{dy_p}{dx} &= 3Ae^{3x} & |4|\\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= 9Ae^{3x} \qquad & |4| \\ \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(566)\[\begin{align} e^{3x}: & 4A + 12A + 36A = 52A = 5 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(567)\[\begin{align} A&= -\dfrac{4}{52} = -\dfrac{1}{13} \end{align}\]

De waardes voor \(A\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(568)\[\begin{align} y_p = -\dfrac{1}{13}e^{3x} \end{align}\]

Alternatieve methode :

(569)\[\begin{align} y_p &= -4 \cdot \dfrac{1}{4D^2 + 4D +4} \cdot e^{3x} \end{align}\]

\(e^{3x}\) dus \(3\) invullen:

(570)\[\begin{align} y_p &= -4 \cdot \dfrac{1}{4 \cdot 3^2 + 3 +2} \cdot e^{3x} \\ y_p &= -4 \cdot \dfrac{1}{52} \cdot e^{3x} \\ y_p &= -\dfrac{4}{52} \cdot e^{3x} \\ y_p &= -\dfrac{1}{13} \cdot e^{3x} \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(571)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= e^{-\dfrac{1}{2}x}\left(C_1\cos\left(\dfrac{1}{2}\sqrt{3}x\right) + C_2\sin \left( \dfrac{1}{2}\sqrt{3}x \right)\right) -\dfrac{1}{13}e^{3x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

4.2.3 \(f(x) = a\sin(x) + b\cos(x)\)

Voorbeeld 3: Goniometrische functies

Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} 2\dfrac{d^2y}{dx^2}-6\dfrac{dy}{dx} = 2 \sin(5x) +3 \cos(5x) \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(572)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(573)\[\begin{align} 2\dfrac{d^2y}{dx^2}-6\dfrac{dy}{dx} = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(574)\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(575)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(576)\[\begin{align} 2(\lambda^2 Ce^{\lambda x}) -6(\lambda Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (2\lambda^2 -6 \lambda )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(577)\[\begin{align} 2\lambda^2 -6 \lambda &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(578)\[\begin{align} D = (-6)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 0 = 36 - 0 = 36 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(579)\[\begin{align} 2\lambda (\lambda -3) &= 0 \end{align}\]

dus \(\lambda_1 = 0\) en \(\lambda_2 = 3\)

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y_h &= C_1e^{\lambda_1 x} + C_2e^{\lambda_2 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R}\\ y_h &= C_1e^{0 x} + C_2e^{3 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \\ y_h &= C_1 + C_2e^{3 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(580)\[\begin{align} y_p = A \sin(5x) + B \cos(5x) \end{align}\]

Dus,

(581)\[\begin{align} \dfrac{dy_p}{dx} = 5A \cos(5x) -5B \sin(5x) \\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} = -25A \sin (2x) -25B \cos(5x) \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(582)\[\begin{align} 2 (-25A \sin(5x) -25B \cos(5x)) -6 \cdot (5A\cos(5x) - 5B \sin(5x)) &=2\sin(5x) + 3\cos(5x)\\\\ -50A\sin(5x) - 50B\cos(5x) - 30A\cos(5x) + 30B\sin(5x) &= 2\sin(5x) + 3\cos(5x) \\ (-50A+30B)\sin(x) + (-50B-30A)\cos(x) &= 2\sin(5x) + 3\cos(5x) \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(583)\[\begin{align} -50B-30A &= 3 \\ -50A+30B &= 2 \end{align}\]

Verkorte schrijfwijze:

(584)\[\begin{align} y_p &= A \sin(5x) + B \cos(5x) \qquad & |0| \\ \dfrac{dy_p}{dx} &= 5A \cos(5x) -5B \sin(5x) \qquad & |-6|\\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= -25A \sin (2x) -25B \cos(5x) \qquad & |2| \\ \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(585)\[\begin{align} \sin(5x): &30B -50A = 2 \\ \cos(5x): &-30A-50B = 3 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(586)\[\begin{align} 30B &= 2+50A \\ B &= \dfrac{2+50A}{30} \\ B &= \dfrac{2}{30}+\dfrac{50}{30}A \end{align}\]

\(B \) invullen geeft:

(587)\[\begin{align} -50 \cdot ( \dfrac{2}{30}+\dfrac{50}{30}A ) - 30A &= 3 \\ -\dfrac{100}{30} - \dfrac{2500}{30}A - 30A &= 3 \\ -\dfrac{2500}{30}A - 30A &= 3 + \dfrac{100}{30} \\ -\dfrac{2500}{30}A - \dfrac{900}{30}A &= \dfrac{90}{30} + \dfrac{100}{30} \\ -\dfrac{3400}{30}A &= \dfrac{190}{30} \\ A &= \dfrac{190}{30} \cdot -\dfrac{30}{3400} \\ A &= -\dfrac{190}{3400} = -\dfrac{19}{340} \end{align}\]

\(A \) invullen geeft:

(588)\[\begin{align} B &= \dfrac{2}{30} + \dfrac{50}{30} \cdot -\dfrac{19}{340} \\ B &= - \dfrac{9}{340} \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(589)\[\begin{align} y_p = -\dfrac{19}{340}\sin(5x) - \dfrac{9}{340}\cos(5x) \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(590)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= C_1 + C_2e^{3 x} -\dfrac{19}{340}\sin(5x) - \dfrac{9}{340}\cos(5x) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Oefening 5

Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} +2 \dfrac{dy}{dx} + y = -4 \cos(2x) \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} \dfrac{d^2y}{dx^2} +2 \dfrac{dy}{dx} + y = -4 \cos(2x) \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(591)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(592)\[\begin{align} \dfrac{d^2y}{dx^2} +2 \dfrac{dy}{dx} + y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(593)\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(594)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(595)\[\begin{align} (\lambda^2 Ce^{\lambda x}) +2 (\lambda Ce^{\lambda x}) + Ce^{\lambda x} &= 0 \\ (\lambda^2 +2 \lambda + 1 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(596)\[\begin{align} \lambda^2 +2 \lambda + 1 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(597)\[\begin{align} D = (2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 1 = 4 - 4 = 0 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(598)\[\begin{align} (\lambda +1)(\lambda +1) &= 0 \end{align}\]

dus \(\lambda_1 = -1\) en \(\lambda_2 = -1\)

De waarde voor \(\lambda\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y_h &= C_1e^{\lambda_1 x} + C_2xe^{\lambda_2 x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R}\\ y_h &= C_1e^{-x} + C_2xe^{-x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \\ y_h &= (C_1 + C_2x)e^{-x} \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(599)\[\begin{align} y_p = A \sin(2x) + B \cos(2x) \end{align}\]

Dus,

(600)\[\begin{align} \dfrac{dy_p}{dx} = 2A \cos(2x) -2B \sin(2x) \\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} = -4A \sin (2x) -4B \cos(2x) \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(601)\[\begin{align} (-4A \sin(2x) -4B \cos(2x)) +2 \cdot (2A\cos(2x) - 2B \sin(2x)) + (A \sin(2x) + B \cos(2x) ) &= -4\cos(2x) \\ -4A\sin(2x) - 4B\cos(2x) +4A\cos(2x) - 4B\sin(2x) + A \sin(2x) + B \cos(2x) &= -4\cos(2x) \\ (-3A-4B)\sin(2x) + (-3B+4A)\cos(2x) &= -4\cos(2x) \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(602)\[\begin{align} -3B+4A &= -4 \\ -3A-4B &= 0 \end{align}\]

Verkorte schrijfwijze:

(603)\[\begin{align} y_p &= A \sin(2x) + B \cos(2x) \qquad & |1| \\ \dfrac{dy_p}{dx} &= 2A \cos(2x) -2B \sin(2x) \qquad & |2|\\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= -4A \sin (2x) -4B \cos(2x) \qquad & |1| \\ \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(604)\[\begin{align} \sin(2x): & A -4B -4A = -3A-4B=0 \\ \cos(2x): & B +4A-4B = -3B+4A = -4 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(605)\[\begin{align} -4B &= 3A \\ B &= -\dfrac{3}{4}A \end{align}\]

\(B \) invullen geeft:

(606)\[\begin{align} -3 \cdot ( -\dfrac{3}{4}A ) + 4A &= -4 \\ \dfrac{9}{4}A + \dfrac{16}{4}A &= -4 \\ \dfrac{25}{4}A &= -\dfrac{16}{4} \\ A &= -\dfrac{16}{4} \cdot \dfrac{4}{25} \\ A &= -\dfrac{16}{25} \end{align}\]

\(A \) invullen geeft:

(607)\[\begin{align} B &= -\dfrac{3}{4} \cdot -\dfrac{16}{25} \\ B &= \dfrac{12}{25} \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(608)\[\begin{align} y_p = -\dfrac{16}{25}\sin(2x) + \dfrac{12}{25}\cos(2x) \end{align}\]

Alternatieve methode :

(609)\[\begin{align} y_p &= -4 \cdot \dfrac{1}{D^2 + 2D+1} \cdot \cos(2x) \end{align}\]

\(\cos(2x)\) dus \(-2\) invullen:

(610)\[\begin{align} y_p &= -4 \cdot \dfrac{1}{-2^2 + 2D+1} \cdot \cos(2x) \\ y_p &=-4 \cdot \dfrac{1}{-4 + 2D+1} \cdot \cos(2x) \\ y_p &=-4 \cdot \dfrac{1}{2D-3} \cdot \cos(2x) \end{align}\]

Merkwaardig product gebruiken dus teller en noemer vermenigvuldigen met \((2D+3)\):

(611)\[\begin{align} y_p &=-4 \cdot \dfrac{2D+3}{4D^2-9} \cdot \cos(2x) \\ \end{align}\]

\(\cos(2x)\) dus \(-2\) invullen:

(612)\[\begin{align} y_p &= -4 \cdot \dfrac{2D+3}{4\cdot -2^2-9} \cdot \cos(2x) \\ y_p &= -4 \cdot \dfrac{1}{4\cdot -4 -9}(2D+3) \cdot \cos(2x) \\ y_p &= -4 \cdot \dfrac{1}{-25}\cdot (2D+3) \cdot \cos(2x) \\ y_p &= \dfrac{4}{25}\cdot (2D+3) \cdot \cos(2x) \end{align}\]

Vermenigvuldigen en differentiëren, de \(D\) staat voor afgeleide nemen:

(613)\[\begin{align} y_p &= \dfrac{4}{25}\cdot (2 \cdot -2\sin(2x) + 3 \cos(2x)) \\ y_p &= -\dfrac{16}{25}\sin(2x) + \dfrac{12}{25} \cos(2x) \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(614)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= C_1e^{-x} + C_2xe^{-x} -\dfrac{16}{25}\sin(2x) + \dfrac{12}{25}\cos(2x) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Oefening 6

Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} 2\dfrac{d^2y}{dx^2} + \dfrac{dy}{dx} + 2y = 10\sin(3x) \end{align*}\]

Uitwerking

Bepaal de algemene oplossing van de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} 2\dfrac{d^2y}{dx^2} + \dfrac{dy}{dx} + 2y = 10 \sin(3x) \end{align*}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(615)\[\begin{align} y = y_h + y_p \end{align}\]

De homogene D.V. wordt:

(616)\[\begin{align} 2\dfrac{d^2y}{dx^2} + \dfrac{dy}{dx} + 2y = 0 \end{align}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

(617)\[\begin{align} y_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Dus,

(618)\[\begin{align} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(619)\[\begin{align} 2(\lambda^2 Ce^{\lambda x}) + (\lambda Ce^{\lambda x}) +2 ( Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (2\lambda^2 + \lambda + 2 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\).
Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

(620)\[\begin{align} 2\lambda^2 + \lambda + 2 &= 0 \end{align}\]

Dus de discriminant is,

(621)\[\begin{align} D = (1)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 2 = 1 - 16 = -15 \end{align}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

(622)\[\begin{align} \lambda_{1,2} &= \dfrac{-1 \pm i\sqrt{15}}{2 \cdot 2}\\ \lambda_{1,2} &= -\dfrac{1}{4} \pm i \dfrac{\sqrt{15}}{4} \\ \lambda_{1,2} &= -\dfrac{1}{4} \pm i \dfrac{1}{4}\sqrt{15} \end{align}\]

Hieruit volgt dat \(p=-\dfrac{1}{4}\) en \(q=\dfrac{1}{4}\sqrt{15}\)

De waarde voor \(p\) en \(q\) invullen in de algemene oplossing geeft;

\[\begin{align*} y_h = e^{px}(C_1\cos(qx) + C_2\sin(qx)) \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align*}\]

(623)\[\begin{align} y_h = e^{-\dfrac{1}{4}x}\left(C_1\cos\left(\dfrac{1}{4}\sqrt{15}x\right) + C_2\sin \left( \dfrac{1}{4}\sqrt{15}x \right)\right) \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align}\]

Kies als vorm voor de particuliere oplossing een vorm die gelijk is aan het rechterlid van de D.V. Als vorm voor de particuliere oplossing stel:

(624)\[\begin{align} y_p = A \sin(3x) + B \cos(3x) \end{align}\]

Dus,

(625)\[\begin{align} \dfrac{dy_p}{dx} = 3A \cos(3x) -3B \sin(3x) \\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} = -9A\sin (x) -9B \cos(x) \end{align}\]

Invullen in de D.V. geeft:

(626)\[\begin{align} 2(-9A \sin(3x) -9B \cos(3x)) + (3A\cos(3x) - 3B \sin(3x)) + 2(A \sin(3x) + B \cos(3x) ) &= 10\sin(3x) \\ -18A\sin(3x) - 18B\cos(3x) + 3A\cos(3x) - 3B\sin(3x) + 2A \sin(3x) + 2B \cos(3x) &= 10\sin(3x) \\ (-16A-3B)\sin(3x) + (-16B+3A)\cos(2x) &= 10\sin(3x) \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(627)\[\begin{align} -16B+3A &= 0 \\ -16A-3B &= 10 \end{align}\]

Verkorte schrijfwijze:

(628)\[\begin{align} y_p &= A \sin(3x) + B \cos(3x) \qquad & |2| \\ \dfrac{dy_p}{dx} &= 3A \cos(3x) -3B \sin(3x) \qquad & |1|\\ \dfrac{d^2y_p}{dx^2} &= -9A \sin (3x) -9B \cos(3x) \qquad & |2| \\ \end{align}\]

De coëfficiënten moeten links en rechts gelijk zijn dus volgt:

(629)\[\begin{align} \sin(3x): & 2A -3B -18A = -16A-3B=10 \\ \cos(3x): & 2B +3A -18B = -16B+3A = 0 \end{align}\]

Hieruit volgt:

(630)\[\begin{align} 3A &= 16B \\ A &= \dfrac{16}{3}B \end{align}\]

\(A\) invullen geeft:

(631)\[\begin{align} -16 \cdot ( \dfrac{16}{3}B ) - 3B &= 10 \\ -\dfrac{256}{3}B - \dfrac{9}{3}B &= 10 \\ -\dfrac{265}{3}B &= \dfrac{30}{3} \\ B &= \dfrac{30}{3} \cdot -\dfrac{3}{265} \\ B &= -\dfrac{30}{265} = -\dfrac{6}{53} \end{align}\]

\(B \) invullen geeft:

(632)\[\begin{align} A &= \dfrac{16}{3} \cdot -\dfrac{6}{53} \\ A &= -\dfrac{32}{53} \end{align}\]

De waardes voor \(A\), \(B\) invullen in de particuliere oplossing geeft:

(633)\[\begin{align} y_p = -\dfrac{32}{53}\sin(3x) - \dfrac{6}{53}\cos(3x) \end{align}\]

Alternatieve methode :

(634)\[\begin{align} y_p &= 10 \cdot \dfrac{1}{2D^2 + D +2} \cdot \sin(3x) \end{align}\]

\(\sin(3x)\) dus \(-3\) invullen:

(635)\[\begin{align} y_p &= 10 \cdot \dfrac{1}{2 \cdot -3^2 + D +2} \cdot \sin(3x) \\ y_p &= 10 \cdot \dfrac{1}{2 \cdot -9 + D +2} \cdot \sin(3x) \\ y_p &= 10 \cdot \dfrac{1}{D-16} \cdot \sin(3x) \end{align}\]

Merkwaardig product gebruiken dus teller en noemer vermenigvuldigen met \((D+16)\):

(636)\[\begin{align} y_p &= 10 \cdot \dfrac{D+16}{D^2-256} \cdot \sin(3x) \\ \end{align}\]

\(\sin(3x)\) dus \(-3\) invullen:

(637)\[\begin{align} y_p &= 10 \cdot \dfrac{D+16}{-3^2-256} \cdot \sin(3x) \\ y_p &= 10 \cdot \dfrac{1}{-9 - 256 }(D+16) \cdot \sin(3x) \\ y_p &= 10 \cdot -\dfrac{1}{265}\cdot (D+16) \cdot \sin(3x) \\ y_p &= -\dfrac{10}{265}\cdot (D+16) \cdot \sin(3x) \end{align}\]

Vermenigvuldigen en differentiëren, de \(D\) staat voor afgeleide nemen:

(638)\[\begin{align} y_p &= -\dfrac{10}{265}\cdot (3\cos(3x) + 16\sin(3x)) \\ y_p &= -\dfrac{30}{265}\cos(3x) - \dfrac{160}{265} \sin(3x) \\ y_p &= -\dfrac{6}{53}\cos(3x) - \dfrac{32}{53} \sin(3x) \end{align}\]

De algemene oplossing bestaat uit een optelling van de homogene oplossing en de particuliere oplossing.

(639)\[\begin{align} y &= y_h + y_p \\ y &= e^{-\dfrac{1}{4}x}\left(C_1\cos\left(\dfrac{1}{4}\sqrt{15}x\right) + C_2\sin \left( \dfrac{1}{4}\sqrt{15}x \right)\right) -\dfrac{32}{53}\sin(3x) - \dfrac{6}{53}\cos(3x) \qquad \text{met } C \in \mathbb{R} \end{align}\]