7.4 Eindige differentiemethode

In de vorige twee paragrafen is gekeken naar numerieke methoden voor het benaderen van oplossingen voor eerste orde differentiaalvergelijkingen.

De eindige differentiemethode kan toegepast worden bij het numeriek oplossen van tweede orde differentiaalvergelijkingen. Deze methode is geschikt voor het oplossen van randwaardeproblemen. In deze paragraaf zal gekeken worden naar differentiaalvergelijkingen van het volgende type:

\[\begin{align*} y'' = q(x)y =p(x) \end{align*}\]

7.4.1 Centrale differentie

Voor het toepassen van de eindige differentiemethode is een benaderingsmethode voor de tweede afgeleide nodig. De tweede afgeleide kan benaderd worden met centrale differentie:

\[\begin{align*} y''_j \approx \dfrac{w_{j−1} − 2w_j + w_{j+1}}{h^2} \end{align*}\]

7.4.2 Methode

Eindige differentie kan onder andere toegepast worden op randvoorwaardenproblemen van het type:

\[\begin{align*} y'' = q(x)y =p(x) \qquad \text{met } y(a) = c_1,y(b) = c_2 \end{align*}\]

Om dit probleem op te lossen op het interval \([a,b]\) kan de volgende benadering gebruikt worden:

\[\begin{align*} \dfrac{w_{j−1}−2w_j + w_{j+1}}{h^2} + q(x_j)w_j= p(x_j) \qquad 1 \le j \le n \end{align*}\]

Gegeven is al dat \(w_0 = c_1\) en \(w_{n+1} = c_2\).

Mits \(w_0\) en \(w_{n+1}\) van de linkerkant van de vergelijking naar de rechterkant kunnen worden omgeschreven, kan dit probleem geschreven worden als een matrix-vector probleem. De vergelijking voor \(j = 1\) ziet er als volgt uit:

\[\begin{align*} \dfrac{w_0−2w_1 + w_2}{h^2}+ q(x_1)w_1 = p(x_1) \end{align*}\]

Dit kan ook geschreven worden als:

\[\begin{align*} \dfrac{−2w_1 + w_2}{h^2}+ q(x_1)w_1 = p(x_1) - \dfrac{w_0}{h^2} \end{align*}\]

Op dezelfde manier kan de vergelijking voor \(j= n\) geschreven worden als:

\[\begin{align*} \dfrac{w_{n-1} -2w_n}{h^2}+ q(x_n)w_n = p(x_n) - \dfrac{w_{n+1}}{h^2} \end{align*}\]

Het stelsel kan nu in matrix-vector vorm geschreven worden, dus in de vorm:

\[\begin{align*} Aw= f \end{align*}\]

De matrix \(A\) kan gezien worden als \(A= K+ M\) met:

\[\begin{align*} K = \dfrac{1}{h^2} \begin{bmatrix} -2 & 1 & 0 \\ 1 & -2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -2 & 1 & 0 \\ & & \ddots & \ddots & \ddots \\ && & 1 & -2 \end{bmatrix} \end{align*}\]

En \(M\) de matrix met de waarden van \(q(x_j)\) op de diagonaal. De vector \(f\) wordt tenslotte gegeven door:

\[\begin{align*} f = \begin{pmatrix} p(x_1)- \dfrac{w_0}{h^2} \\ p(x_2) \\ \vdots \\ p(x_{n-1}) \\ p(x_n)- \dfrac{w_{n+1}}{h^2} \end{pmatrix} \end{align*}\]

De vector \(w= (w1,...,wn)T\) kan bepaald worden door impliciet of expliciet de matrix \(A\) te inverteren.