6.2 Mechanisch - systeem

6.2.1 Harmonische trilling

Theorie

Een deeltje met massa \(m\) beweegt zich over een rechte lijn die horizontaal loopt vanuit een vast punt \(O\). Op dit deeltje werkt een uitwendige kracht die evenredig is met de afstand tussen het deeltje en \(O\) en die gericht is naar O. Verwaarloos in dit geval eventuele wrijving. Het deeltje zal dan een harmonische trilling uitvoeren.

Neem de afstand tussen het deeltje gelijk aan \(x(t)\). Voor de kracht die op het deeltje werkt geldt dan:

\[\begin{align*} F = −kx \end{align*}\]

Hierbij is \(k\) de evenredigheidsconstante. Aangezien dit de enige kracht is die op het deeltje werkt geldt volgens de tweede wet van Newton:

\[\begin{align*} m \cdot a = −kx \end{align*}\]

De versnelling is echter de tweede afgeleide van \(x(t)\) dus geeft dit de volgende differentiaalvergelijking:

\[\begin{align*} m \cdot \dfrac{d^2x}{dt^2} = −kx \end{align*}\]

Voorbeeld 1: Horizontale veer

Beschouw een massa van \(2\)kg aan een horizontale veer op een horizontaal oppervlak. De veer wordt \(10\)cm uitgetrokken en losgelaten op tijdstip \(t= 0\), met \(t\) in seconden. De massa beweegt wrijvingsloos over het oppervlak. Op de massa werkt alleen de veerkracht. De veerkracht is evenredig met de uitrekking van de veer, met veer constante \(k= 30\)N/m. Bepaal met behulp van een differentiaalvergelijking een functie, \(u(t)\) voor de positie van de massa als functie van de tijd.

Voor een massa-veer-systeem geldt:

\[\begin{align*} F_{res} &= - F_v \\ F_{res} &= - c\cdot u\\ m \cdot a &= - c\cdot u \\ m \cdot \dfrac{d^2 u}{dt^2} &= - c\cdot u\quad \end{align*}\]

De gegevens invullen in de D.V. geeft:

\[\begin{align*} m \cdot \dfrac{d^2 u}{dt^2} &= - c\cdot u \\ 2 \cdot \dfrac{d^2 u}{dt^2} &= -30 \cdot u \end{align*}\]

De homogene D.V. wordt:

\[\begin{align*} 2\dfrac{d^2u}{dt^2} +30u = 0 \end{align*}\]

Als oplossing voor de homogene D.V. stel:

\[\begin{align*} u_h = Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Dus,

\[\begin{align*} \dfrac{dy}{dx} &= \lambda Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \\ \dfrac{d^2y}{dx^2} &= \lambda^2 Ce^{\lambda x} \text{ met } C \in \mathbb{R} \end{align*}\]

Invullen in de D.V. geeft:

\[\begin{align*} 2(\lambda^2 Ce^{\lambda x}) + 30(Ce^{\lambda x}) &= 0 \\ (2\lambda^2+30 )\cdot Ce^{\lambda x} &= 0 \end{align*}\]

De vergelijking moet gelden voor alle waardes van C dus ook voor \(C \neq 0\). \ Verder geldt dat \(e^{\lambda x} \neq 0 \) dus,

\[\begin{align*} 2\lambda^2 + 30 &= 0 \end{align*}\]

Dus de discriminant is,

\[\begin{align*} D = (0)^2 - 4 \cdot 2 \cdot 30 = -240 \end{align*}\]

De oplossingen van de karakteristieke vergelijking zijn:

\[\begin{align*} \lambda_{1,2} &= \dfrac{0 \pm i\sqrt{240}}{2 \cdot 2}\\ \lambda_{1,2} &= \dfrac{0 \pm 4\sqrt{15}i}{2 \cdot 2}\\ \lambda_{1,2} &= -0 \pm \sqrt{15} \cdot i \end{align*}\]

Hieruit volgt dat \(p=0\) en \(q=\sqrt{15}\)

De waarde voor \(p\) en \(q\) invullen in de homogene oplossing geeft;

\[\begin{align*} u_h &= e^{px}(C_1\cos(qt) + C_2\sin(qt)) \\ u_h &= e^{0\cdot x}(C_1\cos(\sqrt{15}t) + C_2\sin (\sqrt{15}t ) ) \\ u_h &= C_1\cos(\sqrt{15}t) + C_2\sin (\sqrt{15}t ) \qquad \text{met } C_{1,2} \in \mathbb{R} \end{align*}\]

De gegeven voorwaarden gebruiken om \(C_1\) en \(C_2\) te bepalen, \(u(0) = 0.1\) en \(u'(0) = 0\)\

Dus invullen geeft:

\[\begin{align*} u &= C_1\cos(\sqrt{15}t) + C_2\sin (\sqrt{15}t ) \\ 0.1 &= C_1\cos(\sqrt{15} \cdot 0 ) + C_2\sin (\sqrt{15} \cdot 0) \\ 0.1 &= C_1 \cdot 1 + 0 \end{align*}\]

Hieruit volgt:

\[\begin{align*} C_1 = 0.1 \end{align*}\]

\(C_1 \) invullen geeft:

\[\begin{align*} u' &= -\sqrt{15} C_1\sin(\sqrt{15}t) + \sqrt{15} C_2\cos (\sqrt{15}t ) \\ 0 &= -\sqrt{15} C_1\sin(\sqrt{15} \cdot 0) + \sqrt{15} C_2\cos (\sqrt{15} \cdot 0 ) \\ 0 &= 0 + \sqrt{15} \cdot C_2 \cdot 1 \end{align*}\]

Hieruit volgt:

\[\begin{align*} C_2 &= 0 \end{align*}\]

Dus \(C_1\) en \(C_2\) invullen in de totale oplossing geeft:

\[\begin{align*} u &= C_1\cos(\sqrt{15}t) + C_2\sin (\sqrt{15}t ) \\ u &= 0.1 \cos(\sqrt{15}t) \end{align*}\]