7.3 Modified Euler

Bij Euler voorwaarts wordt de integraal benaderd met behulp van de waarde van \(f(x,y)\) in het punt \((x_n,w_n)\). De benadering van de integraal zou nauwkeuriger zijn als de waarde van \(f(x_{n+1},w_{n+1})\) ook gebruikt zou worden, bijvoorbeeld door de trapeziumregel toe te passen:

\[\begin{align*} w_{n+1} = w_n +\dfrac{h}{2} \cdot (f(x_n,w_n) + f(t_{n+1},w_{n+1})) \end{align*}\]

Dit is een impliciete formule die niet direct is toe te passen. Modified Euler is gebaseerd op deze regel, maar dan expliciet gemaakt. De onbekende waarde \(w_n+1\) aan de rechterzijde van de vergelijking wordt eerst geschat, dit wordt de predictor genoemd. Dit geeft de volgende recursieve formules:

\[\begin{align*} w_{n+1} &= w_n + h \cdot f(x_n,w_n) \\ w_{n+1} &= w_n +\dfrac{h}{2} \cdot \left( f(x_n,w_n) + f(x_{n+1},w_{n+1}) \right) \end{align*}\]

De nauwkeurigheid van modified Euler is \(O(h^2)\).

Dus in een stappenplan:

1. Herschrijf de differentiaalvergelijking tot de vorm \(y'= f(x,y)\).

2. Deel het interval \([a,b]\) op in \(m\) stappen met grootte \(h\).

3. Gegeven zijn \(x_0\) en \(y_0\). Neem \(w_0 = y_0\).

4. Gebruik de recursieve formules om eerst de predictor \(w_{n+1}\) en dan \(w_{n+1}\) te berekenen voor \(n= 1,...,m\).